Tipos de funciones matematicas wikipedia

Definición de la función matemática

de una gráfica en un punto se consideraba una función de la coordenada x del punto. Las funciones no se consideraban explícitamente en la antigüedad, pero algunos precursores del concepto pueden verse quizá en la obra de filósofos y matemáticos medievales como Oresme.

Los matemáticos del siglo XVIII consideraban que una función estaba definida por una expresión analítica. En el siglo XIX, las exigencias del desarrollo riguroso del análisis por Weierstrass y otros, la reformulación de la geometría en términos de análisis y la invención de la teoría de conjuntos por Cantor, condujeron finalmente al concepto moderno, mucho más general, de función como un mapeo de un solo valor de un conjunto a otro.

Ya en el siglo XII, el matemático Sharaf al-Din al-Tusi analizó la ecuación x3 + d = b ⋅ x2 en la forma x2 ⋅ (b - x) = d, afirmando que el lado izquierdo debe ser al menos igual al valor de d para que la ecuación tenga solución. A continuación, determinó el valor máximo de esta expresión. Es discutible que el aislamiento de esta expresión sea una aproximación temprana a la noción de "función". Un valor inferior a d significa que no hay solución positiva; un valor igual a d corresponde a una solución, mientras que un valor superior a d corresponde a dos soluciones. El análisis de Sharaf al-Din de esta ecuación constituyó un avance notable en las matemáticas islámicas, pero su trabajo no tuvo más continuidad en aquella época, ni en el mundo musulmán ni en Europa[1].

Tipos de funciones

En análisis matemático, la suavidad de una función es una propiedad que se mide por el número de derivadas continuas que tiene sobre algún dominio, llamado clase de diferenciabilidad[1] Como mínimo, una función podría considerarse suave si es diferenciable en todas partes (por lo tanto, continua)[2] En el otro extremo, también podría poseer derivadas de todos los órdenes en su dominio, en cuyo caso se dice que es infinitamente diferenciable y se denomina función C-infinita (o clase de diferenciabilidad).

La clase de diferenciabilidad es una clasificación de funciones según las propiedades de sus derivadas. Es una medida del mayor orden de derivada que existe y es continua para una función.

Los espacios anteriores aparecen de forma natural en aplicaciones en las que son necesarias funciones que tengan derivadas de determinados órdenes; sin embargo, especialmente en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, a veces puede resultar más fructífero trabajar en su lugar con los espacios de Sobolev.

Los términos continuidad paramétrica (Ck) y continuidad geométrica (Gn) fueron introducidos por Brian Barsky, para demostrar que la suavidad de una curva podía medirse eliminando las restricciones sobre la velocidad con la que el parámetro traza la curva[6][7][8].

Propiedades de las funciones

En matemáticas, las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares, funciones angulares o funciones goniométricas[1][2]) son funciones reales que relacionan un ángulo de un triángulo rectángulo con las razones de las longitudes de dos lados. Se utilizan ampliamente en todas las ciencias relacionadas con la geometría, como la navegación, la mecánica de sólidos, la mecánica celeste, la geodesia y muchas otras. Se encuentran entre las funciones periódicas más sencillas y, como tales, también se utilizan ampliamente para estudiar fenómenos periódicos mediante el análisis de Fourier.

Las funciones trigonométricas más utilizadas en las matemáticas modernas son el seno, el coseno y la tangente. Sus recíprocas son respectivamente la cosecante, la secante y la cotangente, menos utilizadas. Cada una de estas seis funciones trigonométricas tiene su correspondiente función inversa, y un análogo entre las funciones hiperbólicas.

Las definiciones más antiguas de las funciones trigonométricas, relacionadas con los triángulos rectángulos, sólo las definen para ángulos agudos. Para extender las funciones seno y coseno a funciones cuyo dominio es toda la recta real, se suelen utilizar definiciones geométricas que utilizan el círculo unitario estándar (es decir, un círculo de radio 1 unidad); entonces, el dominio de las demás funciones es la recta real con algunos puntos aislados eliminados. Las definiciones modernas expresan las funciones trigonométricas como series infinitas o como soluciones de ecuaciones diferenciales. Esto permite ampliar el dominio de las funciones seno y coseno a todo el plano complejo, y el dominio de las demás funciones trigonométricas al plano complejo sin algunos puntos aislados.

Función matemática

En la sección Ejemplos se ofrecen otras funciones sigmoidales estándar. En algunos campos, sobre todo en el contexto de las redes neuronales artificiales, el término "función sigmoidea" se utiliza como alias de la función logística.

Algunos casos especiales de la función sigmoidea son la curva de Gompertz (utilizada en la modelización de sistemas que se saturan a valores grandes de x) y la curva de Ogee (utilizada en el aliviadero de algunas presas). Las funciones sigmoidales tienen un dominio de todos los números reales, con un valor de retorno (respuesta) que suele aumentar monotónicamente, aunque puede ser decreciente. Las funciones sigmoidales suelen mostrar un valor de retorno (eje y) en el intervalo de 0 a 1. Otro intervalo de uso común es de -1 a -1. Otro rango comúnmente utilizado es de -1 a 1.

Como función de activación de neuronas artificiales se ha utilizado una gran variedad de funciones sigmoidales, incluidas las funciones logística y de tangente hiperbólica. Las curvas sigmoides también son comunes en estadística como funciones de distribución acumulativa (que van de 0 a 1), como las integrales de la densidad logística, la densidad normal y las funciones de densidad de probabilidad t de Student. La función sigmoidea logística es invertible, y su inversa es la función logit.