Teoría de los números

Una breve introducción a la teoría de números

La teoría de los números es la rama de las matemáticas que estudia los números enteros, que son todos los números enteros a ambos lados de la recta numérica. La teoría de los números analiza las propiedades específicas de los números enteros y busca patrones en las formas en que los diferentes tipos de números se distribuyen o se relacionan entre sí.

Ejemplos de teoría de números

Los siguientes son algunos de los temas que probablemente abordaría un curso de teoría de números, junto con algunos ejemplos de cada uno.

  1. Reglas de divisibilidad.

Las reglas de divisibilidad son herramientas que te ayudan a saber rápidamente si un número es divisible por cierto número entero. Las siguientes son algunas reglas de muestra.

  • Todos los números pares (que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8) son divisibles por 2. Por ejemplo, 1104 es divisible por 2 porque su último dígito, 4, es divisible por 2.
  • Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por tres. Por ejemplo, el número 288 es divisible por 3 porque 2+8+8=18, que es divisible por 3.
  • Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3. En el segundo ejemplo anterior, establecimos que 288 es divisible por 3. Como termina en un número par, también es divisible por 2, lo que significa que 288 es divisible por 6.
  1. Factores.

Los factores son dos números enteros que, cuando se multiplican entre sí, dan como resultado un tercer número. Todos los números excepto el 0 y el 1 tienen al menos dos divisores: el 1 y el propio número. Pero los números pueden tener muchos más factores. El número 100, por ejemplo, tiene 9 factores: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100.

  1. Números primos.

Los números primos son un conjunto especial de números que tienen solo 2 factores distintos: 1 y el número en sí. El número 11 es primo, por ejemplo, porque sus únicos factores son 1 y 11. El número 12, en cambio, es un número compuesto (no primo), porque tiene 5 factores diferentes: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Los matemáticos están interesados ​​en los números primos porque representan los componentes básicos de todos los números que existen. Esto significa que todo número compuesto se puede representar como el producto de factores primos. Por ejemplo, 100 = 2 x 2 x 5 x 5. Los números primos también son muy interesantes porque todavía hay mucho que no se sabe sobre ellos.

Un par de problemas y soluciones simples de teoría de números

Muchos problemas básicos de teoría de números se relacionan con la factorización. Los siguientes son un par de ejemplos:

Problema: Tienes una cantidad de galletas. Puedes compartirlos entre 2 personas o 3 personas o 4 personas por igual. ¿Cuál es el número mínimo de cookies que puede tener para cumplir estas condiciones?

Solución: La respuesta es 12 porque 2, 3 y 4 son todos factores de 12, y 12 es el mínimo común múltiplo de esos números.

Problema: ¿Cuál de los siguientes números no se puede dividir en grupos iguales más pequeños: 5106, 5281 o 5751?

Solución: 5281 es un número primo, por lo que no se puede subdividir en grupos iguales más pequeños. Se puede encontrar a través del proceso de eliminación. 5106 termina en número par, por lo que debe ser divisible por 2. En el caso de 5751, la suma de sus dígitos (5+7+5+1=18) es divisible por tres, por lo que 5751 debe ser divisible por 3.

Aplicaciones de la teoría de números

Una de las aplicaciones más conocidas de la teoría de números es la criptografía, particularmente en línea. La criptografía moderna depende de la descomposición en factores primos de números extremadamente grandes. La teoría de los números también ha contribuido en gran medida al desarrollo de la informática.

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