Regla de los signos en matemáticas
Tabla de reglas de los signos del álgebra
En matemáticas, la regla de los signos de Descartes, descrita por primera vez por René Descartes en su obra La Géométrie, es una técnica para obtener información sobre el número de raíces reales positivas de un polinomio. Afirma que el número de raíces positivas es, como máximo, el número de cambios de signo en la sucesión de coeficientes del polinomio (omitiendo los coeficientes nulos), y que la diferencia entre estos dos números es siempre par. Esto implica, en particular, que si el número de cambios de signo es cero o uno, entonces hay exactamente cero o una raíz positiva, respectivamente.
Mediante una transformación homográfica de la variable, se puede utilizar la regla de los signos de Descartes para obtener una información similar sobre el número de raíces en cualquier intervalo. Esta es la idea básica del teorema de Budan y del teorema de Budan-Fourier. Repitiendo la división de un intervalo en dos intervalos, se obtiene finalmente una lista de intervalos disjuntos que contienen juntos todas las raíces reales del polinomio, y que contienen cada uno exactamente una raíz real. La regla de los signos de Descartes y las transformaciones homográficas de la variable son, hoy en día, la base de los algoritmos más rápidos para el cálculo por ordenador de raíces reales de polinomios (véase aislamiento de raíces reales).
¿Cuáles son las cuatro reglas de las matemáticas?
Las cuatro reglas matemáticas básicas son la suma, la resta, la multiplicación y la división.
¿Qué es la regla de más menos?
Suma y resta
Dos "más" forman un "más", dos "menos" forman un "más". Un más y un menos forman un menos.
Regla del signo de la multiplicación
En matemáticas, la regla de los signos de Descartes, descrita por primera vez por René Descartes en su obra La Géométrie, es una técnica para obtener información sobre el número de raíces reales positivas de un polinomio. Afirma que el número de raíces positivas es, como máximo, el número de cambios de signo en la sucesión de coeficientes del polinomio (omitiendo los coeficientes nulos), y que la diferencia entre estos dos números es siempre par. Esto implica, en particular, que si el número de cambios de signo es cero o uno, entonces hay exactamente cero o una raíz positiva, respectivamente. Mediante una transformación homográfica de la variable, se puede utilizar la regla de los signos de Descartes para obtener una información similar sobre el número de raíces en cualquier intervalo. Esta es la idea básica del teorema de Budan y del teorema de Budan-Fourier. Repitiendo la división de un intervalo en dos intervalos, se obtiene finalmente una lista de intervalos disjuntos que contienen juntos todas las raíces reales del polinomio, y que contienen cada uno exactamente una raíz real. La regla de los signos de Descartes y las transformaciones homográficas de la variable son, hoy en día, la base de los algoritmos más rápidos para el cálculo por ordenador de raíces reales de polinomios (véase Aislamiento de raíces reales). El propio Descartes utilizó la transformación x → -x para utilizar su regla para obtener información del número de raíces negativas.
La regla de los signos de Descartes
Pregunto esto porque la prueba geométrica dada aquí https://math.hmc.edu/funfacts/descartes-rule-of-signs/ tiene sentido para mí si contamos sólo raíces distintas (porque eso es número de intersecciones del polinomio con el eje $x$) pero no de otra manera. Gracias
Mi hipótesis es que si ese número es par el polinomio tiene forma parabólica cerca de ese punto y si es impar el polinomio tiene forma similar a la curva $x^3$ (y como la paridad de cambios de signo y raíces positivas (contadas con multiplicidad) son iguales, entonces esto no cambia el número de subidas y bajadas de nuestra curva - ahora la prueba tiene sentido pero por favor contesta #)
Consideremos $P(x)=x^2-2x+1.$ Aquí hay dos cambios de signo. Según la regla de los signos de Descartes, el polinomio tiene dos raíces con parte real positiva. Estas raíces pueden ser ambas positivas (iguales o no), o se trata de un par de raíces complejas conjugadas. La regla de Descartes no dice nada más.
Reglas de los signos en la resta
"La regla establece que si los términos de un polinomio de una sola variable con coeficientes reales se ordenan por exponente variable descendente, entonces el número de raíces positivas del polinomio es igual al número de diferencias de signo entre coeficientes consecutivos distintos de cero, o es menor que él en un número par. Las raíces múltiples del mismo valor se cuentan por separado".
Como corolario de la regla, el número de raíces negativas es el número de cambios de signo después de multiplicar los coeficientes de los términos impares por -1, o menor que él por un número par. Este procedimiento equivale a sustituir la negación de la variable por la propia variable.
Lo siento por esta pregunta. Creo que es más una cuestión de inglés que de matemáticas. No he entendido el significado de las frases "...menor que ella en un número par" y "menor que ella en un número par".