Que es un cuantificador en matematicas
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expresa que existe algo en el dominio que satisface esa propiedad. Una fórmula en la que un cuantificador tiene el alcance más amplio se denomina fórmula cuantificada. Una fórmula cuantificada debe contener una variable ligada y una subfórmula que especifique una propiedad del referente de esa variable.
En un enunciado de lógica de primer orden, las cuantificaciones del mismo tipo (ya sean cuantificaciones universales o cuantificaciones existenciales) pueden intercambiarse sin cambiar el significado del enunciado, mientras que el intercambio de cuantificaciones de tipos diferentes cambia el significado. Como ejemplo, la única diferencia en la definición de continuidad uniforme y continuidad (ordinaria) es el orden de las cuantificaciones.
Los cuantificadores de primer orden se aproximan a los significados de algunos cuantificadores del lenguaje natural, como "algunos" y "todos". Sin embargo, muchos cuantificadores del lenguaje natural sólo pueden analizarse en términos de cuantificadores generalizados.
Esto tiene la apariencia de una conjunción infinita de proposiciones. Desde el punto de vista de los lenguajes formales, esto supone inmediatamente un problema, ya que se espera que las reglas sintácticas generen palabras finitas.
Tipos de cuantificadores
2. Cuantificación existencial- Algunos enunciados matemáticos afirman que existe un elemento con una determinada propiedad. Tales afirmaciones se expresan mediante cuantificación existencial. La cuantificación existencial se puede utilizar para formar una proposición que es verdadera si y sólo si es verdadera para al menos un valor de en el dominio.
Observe que la afirmación dada no se menciona como bicondicional y, sin embargo, hemos utilizado una. Esto se debe a que el lenguaje natural es ambiguo a veces, e hicimos una suposición. Esta suposición se hizo ya que es cierto que una persona puede votar si y sólo si él / ella tiene 18 años o más. Consulte Introducción a la Lógica Proposicional para más explicaciones.Otros Cuantificadores -Aunque los cuantificadores universales y existenciales son los más importantes en Matemáticas e Informática, no son los únicos. De hecho, no hay limitación en el número de cuantificadores diferentes que se pueden definir, como "exactamente dos", "no hay más de tres", "hay al menos 10", etc. De todos los otros cuantificadores posibles, el que se ve más a menudo es el cuantificador de unicidad, denotado por .
Cuantificador existencial
Un cuantificador es un símbolo lógico que hace una afirmación sobre el conjunto de valores que hacen que una o más fórmulas sean verdaderas. Se trata de un concepto excesivamente general; la gran mayoría de las matemáticas se realizan con los dos cuantificadores estándar, ∀ (para todos) y ∃ (existe).
El cuantificador universal ∀ toma una variable x y una fórmula, que puede o no contener x, y afirma que la fórmula es válida para cualquier valor de x (el valor se toma de un universo dado A). Un ejemplo típico sería una frase como
El ámbito de un cuantificador es la parte de una fórmula en la que vincula sus variables. Tenga en cuenta que las vinculaciones anteriores de una variable se anulan en el ámbito de un cuantificador. En los ejemplos anteriores, el ámbito de los cuantificadores era toda la fórmula, pero no tiene por qué ser así. El siguiente es un uso más complicado de los cuantificadores:
†:El ámbito del segundo cuantificador existencial. Dentro de este ámbito, todas las referencias a x se refieren a la variable ligada por el cuantificador existencial. Es imposible referirse directamente a la limitada por el cuantificador universal.
Cuantificador universal
La expresión \[x>5\] no es ni verdadera ni falsa. De hecho, ni siquiera podemos determinar su valor de verdad a menos que conozcamos el valor de \(x\). Este es un ejemplo de función proposicional, porque se comporta como una función de \(x\), se convierte en proposición cuando se asigna un valor concreto a \(x\). Las funciones proposicionales también se llaman predicados.
Denotemos la función proposicional "\(x > 5\)" por \(p(x)\). No es una proposición porque su valor de verdad es indecidible, pero \(p(6)\), \(p(3)\) y \(p(-1)\) son proposiciones.
Aunque una función proposicional no es una proposición, podemos formar una proposición mediante cuantificación. La idea es especificar si la función proposicional es verdadera para todos o para algunos valores que pueden tomar las variables subyacentes.
La afirmación \[\para todo x\en mathbb{R}\, (x > 5)\] es falsa porque \(x\) no siempre es mayor que 5. Para refutar una afirmación, basta con proporcionar un solo contraejemplo. Podemos utilizar \(x=4\) como contraejemplo.