Que es implicacion en matematicas

Contenidos
  1. Lógica de la implicación
    1. Negación de la implicación
    2. Implicación de la prueba
    3. Matemáticas si-entonces

Lógica de la implicación

Los objetos matemáticos que informan nuestra capacidad de razonamiento lógico son más fáciles de describir de forma directa que conciliar sus cuentas tradicionales. Aun así, no puede evitarse cierta discusión sobre el lenguaje que se emplea en la literatura.

El concepto de implicación lógica abarca una función lógica específica, una relación lógica específica y los diversos símbolos que se utilizan para denotar esta función y esta relación. Para definir la función específica, la relación y los símbolos en cuestión, primero es necesario establecer algunas ideas sobre las conexiones entre ellos.

Aquí p y q son variables proposicionales que representan cualquier proposición en un lenguaje dado. En un enunciado de la forma "si p entonces q", el primer término, p, se denomina antecedente y el segundo término, q, consecuente, mientras que el enunciado en su conjunto se denomina condicional o consecuencia. Suponiendo que el enunciado condicional sea verdadero, la verdad del antecedente es condición suficiente para la verdad del consecuente, mientras que la verdad del consecuente es condición necesaria para la verdad del antecedente.

Negación de la implicación

Las reglas de la lógica matemática especifican métodos de razonamiento de enunciados matemáticos. El filósofo griego Aristóteles fue el pionero del razonamiento lógico. El razonamiento lógico proporciona la base teórica para muchas áreas de las matemáticas y, en consecuencia, de la informática. Tiene muchas aplicaciones prácticas en informática, como el diseño de máquinas de computación, la inteligencia artificial, la definición de estructuras de datos para lenguajes de programación, etc.

La lógica proposicional se ocupa de enunciados a los que se pueden asignar valores de verdad, "verdadero" y "falso". El objetivo es analizar estos enunciados individualmente o de forma compuesta.

Una proposición es un conjunto de enunciados declarativos que tiene un valor de verdad "verdadero" o un valor de verdad "falso". Una proposición consta de variables proposicionales y conectivas. Las variables proposicionales se denotan con letras mayúsculas (A, B, etc.). Las conectivas conectan las variables proposicionales.

El principio de dualidad establece que para cualquier enunciado verdadero, el enunciado dual obtenido intercambiando uniones por intersecciones (y viceversa) e intercambiando conjunto universal por conjunto nulo (y viceversa) también es verdadero. Si el dual de cualquier enunciado es el propio enunciado, se dice que es un enunciado autodual.

Implicación de la prueba

Hace poco publiqué un artículo exploratorio sobre por qué los programadores que están realmente interesados en mejorar sus conocimientos matemáticos pueden perder rápidamente el ánimo o desanimarse. Mi argumento era esencialmente que no se centran lo suficiente en dominar los métodos básicos de demostración antes de intentar leer artículos de investigación que dan por supuesto ese conocimiento. Además, hay una serie de idiosincrasias confusas (pero útiles al fin y al cabo) en la cultura matemática que a menudo no se explican. En conjunto, pueden causar suficiente confusión como para dejar perplejo incluso al lector más aplicado. Yo lo he experimentado lo suficiente como para que me resulte familiar.

No pretendo afirmar que todos los programadores necesiten aprender matemáticas para mejorar su oficio, ni que aprender matemáticas sea útil para cualquier programador. Lo único que afirmo es que alguien que quiera entender por qué los teoremas son ciertos, o cómo ajustar el trabajo matemático para que se adapte a sus propias necesidades, no puede tener éxito sin una comprensión profunda de cómo se desarrollan estos resultados en primer lugar.  Las definiciones de funciones y las declaraciones de variables pueden formar el andamiaje de un programa en C, mientras que el corazón del programa puede estar contenido sólo en unas pocas líneas críticas de código. Del mismo modo, el corazón de una prueba suele ser bastante pequeño y el resto es andamiaje. No se puede entender o modificar un programa sin entender el andamiaje, y lo mismo ocurre con las demostraciones matemáticas.

Matemáticas si-entonces

¿Qué quiere decir Sue? Si Sam gana, obviamente recibirá un beso, pero Sue no se comprometió de una manera u otra en caso de que Sam pierda. Hay cuatro resultados posibles al final del partido, a saber,

Sin embargo, la declaración de Sue descarta (B). No mencionó (C) ni (D), por lo que si Sam pierde, Sue es libre de besarle o no. En efecto, lo que Sue quiere decir en su declaración a Sam es que los resultados (A), (C) y (D) podrían ocurrir, pero que (B) no. Sue se verá atrapada en una mentira sólo si se produce el resultado (B); en los otros tres casos habrá dicho la verdad.

Nuestro análisis concluye que esta implicación es falsa sólo cuando p es verdadera y q es falsa, en cuyo caso Sam gana pero tristemente no recibe ningún beso; en todos los demás resultados la afirmación es verdadera. En consecuencia, nuestra tabla de verdad para la implicación acaba teniendo el aspecto que se muestra; las ecuaciones lógicas correspondientes para la implicación se enumeran a la derecha de la tabla.

En el lenguaje cotidiano hay muchas formas de expresar implicaciones sin utilizar el formato exacto "si p entonces q"; lo que determina una implicación es el significado pretendido, no el lenguaje preciso. Siempre que expresemos de un modo u otro que una cosa lleva a otra, estamos comunicando una implicación. A continuación se presentan algunas implicaciones expresadas de distintas maneras, con sus correspondientes traducciones al formato "si p entonces q". Como quizá demuestren los ejemplos, no siempre es evidente cómo hacer esta traducción.

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