Que es equivalencia en matemáticas

Contenidos
  1. Ejemplos de relaciones de equivalencia
    1. Significado de razón equivalente en matemáticas
    2. Símbolo equivalente en matemáticas
    3. Clase de equivalencia

Ejemplos de relaciones de equivalencia

En matemáticas, una relación de equivalencia definida sobre un conjunto es una relación binaria que es reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación binaria sobre los conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B formado por elementos de la forma (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Un ejemplo muy común y fácil de entender de una relación de equivalencia es la relación "igual a (=)", que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Como su nombre indica, se dice que dos elementos de un conjunto son equivalentes si y sólo si pertenecen a la misma clase de equivalencia. En este artículo, entenderemos el concepto de relación de equivalencia, clase, partición con pruebas y ejemplos resueltos.

Una relación de equivalencia es una relación binaria definida sobre un conjunto X tal que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva. Si alguna de las tres condiciones (reflexiva, simétrica y transitiva) no se cumple, la relación no puede ser una relación de equivalencia. La relación de equivalencia divide el conjunto en clases de equivalencia disjuntas. Se dice que dos elementos cualesquiera del conjunto son equivalentes si y sólo si pertenecen a la misma clase de equivalencia. Una relación de equivalencia se suele indicar con el símbolo "~".

Significado de razón equivalente en matemáticas

Simétrico Antisimétrico Conectado Bien fundado Tiene une Tiene reúne Reflexivo Irreflexivo Asimétrico Total, Semiconnexo Anti- Reflexiva Relación de equivalencia Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorden (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Orden parcial ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorden total ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Orden total ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prebienorden ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Bien ordenado cuasi-pedido ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Bien- ordenación ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet- semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Estricto orden parcial ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Estricto orden débil ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Estricto orden total ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Simétrico Antisimétrico Conectado Bien- fundado Has une Has reúne Reflexivo Irreflexivo Asimétrico Definiciones, para todos

Y indica que la propiedad de la columna es requerida por la definición del término de la fila (a la izquierda). Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia exige que sea simétrica. ✗ indica que la propiedad puede cumplirse o no. Todas las definiciones requieren tácitamente la relación homogénea

Símbolo equivalente en matemáticas

Pero hay una creciente comunidad de matemáticos que considera el signo igual como el error original de las matemáticas. Lo ven como un barniz que oculta complejidades importantes en la forma en que se relacionan las cantidades, complejidades que podrían desvelar soluciones a un enorme número de problemas. Quieren reformular las matemáticas en el lenguaje más laxo de la equivalencia.

La figura más destacada de esta comunidad es Jacob Lurie. En julio, Lurie, de 41 años, dejó su puesto de titular en la Universidad de Harvard para incorporarse al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Nueva Jersey), donde residen muchos de los matemáticos más venerados del mundo.

Las ideas de Lurie son arrolladoras a una escala pocas veces vista en ningún campo. A través de sus libros, que abarcan miles de páginas densas y técnicas, ha construido una forma sorprendentemente diferente de entender algunos de los conceptos más esenciales de las matemáticas yendo más allá del signo igual. "Creo que pensaba que ésta era la forma correcta de concebir las matemáticas", afirma Michael Hopkins, matemático de Harvard y asesor de Lurie en la escuela de posgrado.

Clase de equivalencia

Para calcular en lógica de predicados, necesitamos una noción de equivalencia lógica. Claramente, hay pares de proposiciones en lógica de predicados que significan lo mismo. Consideremos las proposiciones ¬(∀xH(x)) y ∃x(¬H(x)), donde H(x) representa "x es feliz". La primera de estas proposiciones significa "No todo el mundo es feliz", y la segunda significa "Alguien no es feliz". Estas afirmaciones tienen el mismo valor de verdad: Si no todo el mundo es feliz, entonces alguien es infeliz y viceversa. Pero la equivalencia lógica es mucho más fuerte que el mero hecho de tener el mismo valor de verdad. En lógica proposicional, la equivalencia lógica se define en términos de variables proposicionales: dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los posibles valores de verdad de las variables proposicionales que contienen. En lógica de predicados, dos fórmulas son lógicamente equivalentes si tienen el mismo valor de verdad para todos los predicados posibles.

Un argumento similar mostraría que ¬(∃xP(x)) ≡ ∀x(¬P(x)). Estas dos equivalencias, que explican la relación entre negación y cuantificación, se conocen como Leyes de DeMorgan para la lógica de predicados. (Están estrechamente relacionadas con las Leyes de DeMorgan para la lógica proposicional; véanse los ejercicios). Estas leyes pueden utilizarse para simplificar expresiones. Por ejemplo,

Subir

Utilizamos cookies para asegurar que damos la mejor experiencia al usuario en nuestra web. Si sigues utilizando este sitio asumiremos que estás de acuerdo.