Problemas resueltos de fracciones parciales

Contenidos
  1. 4 tipos de fracciones parciales
    1. Preguntas de fracción parcial a nivel
    2. Integración por fracciones parciales ejemplos y soluciones
    3. Preguntas sobre fracciones parciales impropias

4 tipos de fracciones parciales

\[\frac{2}{x + 1}} + \frac{3}{x + 4}} = \frac{{2\izquierda( {x + 4} {derecha) + 3\izquierda( {x + 1} {derecha)}} {{izquierda( {x + 1} {derecha)} {izquierda( {x + 4} {derecha)}} = \frac{{color{rojo} {2x} + \color azul 8 + \color rojo 3x + \color{blue}3}}{{\color{darkgreen}{x^2} + color rojo x + color rojo 4x + \color azul 4} = \frac {\color rojo 5x} + \color{blue}{11}}}{{\color{darkgreen}{x^2} ...+ color rojo 5x... + \color{azul}{4}}.\}

En una expresión racional adecuada \(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}},\) el grado del numerador \({P\left( x \right)}\) es menor que el grado del denominador \({Q\left( x \right)}.\)

Una vez determinada la descomposición en fracciones parciales, se pueden hallar los coeficientes desconocidos despejando fracciones e igualando los coeficientes de potencias semejantes en los dos lados. El sistema resultante debe tener siempre una solución única.

\[\frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{x - 4}} = \frac{{A\left( {x - 4} \right) + B\left( {x + 2} \right)}}{{left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{{Ax - 4A + Bx + 2B}} {{izquierda( {x + 2} \derecha)\izquierda( {x - 4} \derecha)}} = {frac{{izquierda( {A + B} \derecha)x + \izquierda( {2B - 4A} \derecha)}} {{izquierda( {x + 2} \derecha)\izquierda( {x - 4} \derecha)}}. \]

Preguntas de fracción parcial a nivel

Álgebra: Fracciones parciales1. \(\frac{8x+22}{{x}^{2}+4x-5}\) Solution2. \(\frac{2x-3}{{x}^{3}+x}\) Solution3. \(\frac{8x+22}{(x+1)(2+x)(x+3)}\) Solución4. \(\frac{{x}^{2}+x+2}{{({x}^{2}+2)}^{2}}\) Solución5. \(\frac{u}{{(1+u)}^{2}}\) Solución6. \(\frac{x}{(2x+1)(2x+3)}\) Solución7. \(\frac{1}{(2x+1)(2x+3)}\) SoluciónFracción parcial - Introducción

Probablemente hayas aprendido a combinar o simplificar fracciones que contienen polinomios. Se trata de fracciones con expresiones racionales con variables en el numerador, en el denominador o en ambos. Naturalmente, también es posible invertir el proceso y descubrir el conjunto original de fracciones polinómicas. Este proceso se denomina descomposición parcial de fracciones. Intentemos descomponer algunas fracciones en la siguiente sección.

Paso 1: Utiliza técnicas de factorización de polinomios para simplificar el denominador. Vamos a reescribir el segundo término en el denominador \({x}^{2}+4x-5\) como una suma de dos términos. Te preguntarás, ¿cuáles dos? En primer lugar, vamos a encontrar dos números que suman \(4\) y se multiplican por \(-5\). Después de probar los factores de \(-5\), encontrarás que estos dos números son \(-1\) y \(5\). Esto nos permite simplificar el denominador como \((x-1)(x+5)\).

Integración por fracciones parciales ejemplos y soluciones

Las fracciones parciales son las fracciones que se forman cuando una expresión racional compleja se divide en dos o más fracciones más sencillas. Generalmente, las fracciones con expresiones algebraicas son difíciles de resolver y de ahí que utilicemos los conceptos de fracciones parciales para descomponer las fracciones en numerosas subfracciones. En la descomposición, generalmente, el denominador es una expresión algebraica, y esta expresión se factoriza para facilitar el proceso de generación de fracciones parciales. Una fracción parcial es un proceso inverso al de la suma de expresiones racionales.

En el proceso normal, realizamos operaciones aritméticas a través de fracciones algebraicas para obtener una única expresión racional. Esta expresión racional, al dividirse en sentido inverso implica el proceso de descomposición de fracciones parciales y da como resultado las dos fracciones parciales. Vamos a aprender más acerca de las fracciones parciales en las siguientes secciones.

Cuando una expresión racional se divide en la suma de dos o más expresiones racionales, las expresiones racionales que forman parte de la suma se denominan fracciones parciales. Esto se denomina dividir la fracción algebraica dada en fracciones parciales. El denominador de la expresión algebraica dada debe factorizarse para obtener el conjunto de fracciones parciales.

Preguntas sobre fracciones parciales impropias

En esta sección investigamos las antiderivadas de funciones racionales. Recordemos que las funciones racionales son funciones de la forma \(f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}\text{,}\) donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios y \(q(x)\neq 0\text{,}\). Tales funciones surgen en muchos contextos, uno de los cuales es la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales fundamentales.

Comenzamos con un ejemplo que demuestra la motivación de esta sección. Consideremos la integral \(\ds\int \frac{1}{x^2-1}\ dx\text{.}\) No tenemos una fórmula sencilla para esto (si el denominador fuera \(x^2+1\text{,}\) reconoceríamos que la antiderivada es la función arctangente). Se puede resolver utilizando la sustitución trigonométrica, pero observe cómo la integral es fácil de evaluar una vez que nos damos cuenta:

Partimos de una función racional \(f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}text{,}\) donde \(p\) y \(q\) no tienen factores comunes y el grado de \(p\) es menor que el grado de \(q\text{,}\) Puede demostrarse que cualquier polinomio, y por tanto \(q\text{,}\) puede factorizarse en un producto de términos lineales y cuadráticos irreducibles. La siguiente Idea Clave establece cómo descomponer una función racional en una suma de funciones racionales cuyos denominadores son todos de grado menor que \(q\text{.}\\)

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