Problemas de optimización

Aquí te explicamos cómo se resuelven los problemas de optimización de funciones por pasos. Además, podrás practicar con ejercicios resueltos de problemas de optimización.

Para resolver el problema, llamaremos a un cateto del triángulo x, y al otro cateto y:

problema de optimizacion triangulo

Paso 1: Plantear la función a optimizar.

Queremos que el área del triángulo sea máxima, y la fórmula del área de un triángulo es:

A = cfrac{b cdot h}{2}

En nuestro caso, la base del triángulo es x y su altura y. Por tanto:

A = cfrac{x cdot y}{2}

Ya tenemos la función a optimizar, pero esta depende de dos variables cuando solo puede depender de una. Sin embargo, el enunciado nos dice que los dos catetos tienen que sumar 10 cm. Por tanto:

x+ y = 10

Despejamos y de esta ecuación:

y = 10 -x

Y sustituimos la expresión en la función:

A = cfrac{x cdot y}{2}  xrightarrow{ y   =  10 -x }  A = cfrac{x(10-x)}{2}

A(x) = cfrac{10x-x^2}{2}

Ahora ya tenemos la función a optimizar planteada y solo depende de una variable, por lo que podemos pasar al siguiente paso.

Paso 2: Calcular la derivada de la función a optimizar.

Se trata de una función racional, por tanto, aplicamos la fórmula de la derivada de una división para derivarla:

A(x) = cfrac{10x-x^2}{2}  longrightarrow  A'(x) = cfrac{(10-2x) cdot 2 - (10x-x^2) cdot 0}{2^2}

A'(x) = cfrac{20-4x}{4}

Paso 3: Buscar los puntos críticos.

Para buscar los puntos críticos de la función, tenemos que igualar la derivada a cero y resolver la ecuación resultante:

A'(x) = 0

cfrac{20-4x}{4} =0

El 4 está dividiendo a todo el lado izquierdo, por tanto, lo podemos pasar multiplicando a todo el lado derecho:

20-4x=0 cdot 4

20-4x=0

-4x=-20

x=cfrac{-20}{-4}

x=5

Paso 4: Estudiar la monotonía de la función y determinar el máximo o el mínimo de la función.

Para estudiar la monotonía de la función, representamos en la recta el punto crítico encontrado:

Y ahora evaluamos el signo de la derivada en cada intervalo para saber si la función crece o decrece. Para ello, cogemos un punto de dentro de cada intervalo (nunca el punto crítico) y miramos qué signo tiene la derivada en ese punto:

A'(x) = cfrac{20-4x}{4}

A'(0) = cfrac{20-4cdot0}{4} = cfrac{20}{4} = 5    rightarrow  bm{+}

A'(6) = cfrac{20-4cdot6}{4} = cfrac{20-24}{4} = cfrac{-4}{4} = -1     rightarrow  bm{-}

Si la derivada es positiva significa que la función crece, y si la derivada es negativa significa que la función decrece. Por lo tanto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función son:

Crecimiento: bm{(-infty, 5)}

Decrecimiento: bm{(5,+infty)}

En x=5 la función pasa de ser creciente a ser decreciente, así que x=5 es un máximo relativo de la función a optimizar.

Por tanto, x=5 es el valor del cateto del triángulo que hace el área máxima. Solamente nos queda calcular el valor del otro cateto:

y = 10 -x  xrightarrow{x  =  5}  y = 10-5= bm{5}

En conclusión, los valores que maximizan el área del triángulo máxima son:

bm{x=5}  mathbf{cm}

bm{y=5}  mathbf{cm}

Contenidos
  1. Problemas de optimización resueltos
    1. Problema 1
    2. Problema 2
    3. Problema 3
    4. Problema 4

Problemas de optimización resueltos

Problema 1

Se administra una medicina a un enfermo y t horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por la función c(t) = te^{−t/2} miligramos por mililitro. Determina el valor máximo de c(t) e indica en qué momento se alcanza dicho valor.

Ver solución

Paso 1: Plantear la función a optimizar.

En este problema ya nos dan la función planteada, que es displaystyle c(t) = t e^{-t/2} .

Paso 2: Calcular la derivada de la función a optimizar.

La función está compuesta por el producto de 2 funciones. Por tanto, para calcular la derivada de la función tenemos que aplicar la regla de la derivada de un producto:

displaystyle c'(t)=1 cdot e^{-t/2} + t cdot e^{-t/2} cdot left( frac{-t}{2} right)'= e^{-t/2} + t e^{-t/2} cdot  frac{-1}{2}

c'(t)=e^{-t/2} + cfrac{-1}{2}t  e^{-t/2}

Paso 3: Buscar los puntos críticos.

Para buscar los puntos críticos de la función, resolvemos c'(t)=0:

c'(t)=0

displaystyle e^{-t/2} + frac{-1}{2}t  e^{-t/2}=0

Sacamos factor común para resolver la ecuación:

displaystyle e^{-t/2} left(1 - frac{1}{2}t right) = 0

Para que la multiplicación valga 0, uno de los dos elementos de la multiplicación tiene que ser cero. Por lo tanto, igualamos cada factor a 0:

displaystyle e^{-t/2}cdot left(1 - frac{1}{2}t right) = 0 longrightarrow begin{cases} e^{-t/2}=0  bm{times} \[2ex]displaystyle 1 - frac{1}{2}t=0  longrightarrow  1= frac{1}{2}t  longrightarrow  bm{2=t} end{cases}

Un número elevado a otro número nunca puede dar 0, por tanto, e^{-t/2}=0 no tiene solución.

Paso 4: Estudiar la monotonía de la función y determinar el máximo o el mínimo de la función.

Para estudiar la monotonía de la función, representamos en la recta el punto crítico encontrado:

Y ahora evaluamos el signo de la derivada en cada intervalo, para saber si la función crece o decrece. De manera que cogemos un punto de dentro de cada intervalo (nunca el punto crítico) y miramos qué signo tiene la derivada en ese punto:

displaystyle c'(0)=e^{-0/2} + frac{-1}{2}cdot 0 cdot e^{-0/2} = e^0 +frac{-1}{2}cdot 0 cdot e^{0} = 1 + 0 = 1  rightarrow  bm{+}

displaystyle c'(3)=e^{-3/2} + frac{-1}{2}(3)e^{-3/2} = 0,22-0,33 = -0,11  rightarrow  bm{-}

Si la derivada es positiva quiere decir que la función crece, por contra, si la derivada es negativa implica que la función decrece. De manera que los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función a optimizar son:

Crecimiento:bm{(-infty,2)}

Decrecimiento: bm{(2,+infty)}

La función pasa de ser creciente a ser decreciente en t=2, así que t=2 es un máximode la función. Por tanto, la concentración máxima se alcanzará en t=2 horas.

Por último, sustituimos el valor en el que se produce el máximo en la función original, para hallar el valor de la concentración máxima:

c(2) = 2 cdot e^{-2/2} = 2cdot e^{-1} = 2 cdot 0,37 = bm{0,74}  mathbf{mg/ml}

Problema 2

Una tienda espera vender 40 patinetes eléctricos a un precio de 1000€ por patinete. Pero según un estudio de mercado, por cada 50€ de rebaja en el precio del patinete habrá un incremento de las ventas de 10 patinetes más vendidos.

Primero escribe la función de ingresos de la tienda en función del número de veces que se rebaje en 50€ el precio inicial de 1000€ del patinete. Luego, determina el precio del patinete para obtener el máximo de beneficios y los ingresos obtenidos con este precio.

Ver solución

Paso 1: Plantear la función a optimizar.

El enunciado del problema nos da una pista, ya que nos dice que la función tiene que depender del número de veces que se rebaje en 50€ el precio inicial. Por tanto, llamaremos x al número de veces que se rebaje 50€ el precio:

x= text{N'umero de veces que se rebaja el precio 50}

La función de ingresos será el número de patinetes vendidos multiplicado por el precio de cada patintete:

I(x)= text{N'umero patintetes vendidos} cdot text{Precio de cada patinete}

El número de patinetes vendidos será 40 más 10 patinetes por cada vez que rebaje el precio 50€. Por tanto:

text{N'umero patintetes vendidos} = 40 + 10x

El precio de cada patinete será 1000€ al principio, e irá disminuyendo 50€ cada vez que se rebaje el precio. Por tanto:

text{Precio de cada patinete} = 1000 -50x

De manera que la función a optimizar del problema es:

I(x)= text{N'umero patintetes vendidos} cdot text{Precio de cada patinete}

I(x)= (40 + 10x) cdot (1000-50x)

I(x)= 40000-2000x+10000x-500x^2

I(x)= -500x^2+8000x+40000

Paso 2: Calcular la derivada de la función a optimizar.

Al ser una función polinómica, la derivada es más fácil de calcular:

I(x)= -500x^2+8000x+40000 longrightarrow  I'(x)= -1000x+8000

Paso 3: Buscar los puntos críticos de la función.

Para buscar los puntos críticos de la función, resolvemos I'(x)=0:

I'(x)=0

-1000x+8000=0

-1000x=-8000

x=cfrac{-8000}{-1000} = 8

Paso 4: Estudiar la monotonía de la función y determinar el máximo o el mínimo de la función.

Para estudiar la monotonía de la función, representamos en la recta numérica el punto crítico calculado:

Y ahora evaluamos el signo de la derivada en cada intervalo, para saber si la función crece o decrece. De manera que cogemos un punto de dentro de cada intervalo (nunca el punto crítico) y miramos qué signo tiene la derivada en ese punto:

I'(0)= -1000cdot 0+8000=8000  rightarrow  bm{+}

I'(10)= -1000cdot 10+8000=-2000  rightarrow  bm{-}

Si la derivada es positiva significa que la función crece, y si la derivada es negativa significa que la función decrece. Por tanto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

Crecimiento:bm{(-infty,8)}

Decrecimiento: bm{(8,+infty)}

La función pasa de ser creciente a ser decreciente en x=8, así que x=8 es un máximode la función. Por tanto, los ingresos máximos se producirán haciendo 8 veces la rebaja de 50€.

Ahora sustituimos el valor en el que se produce el máximo de ingresos en la función original, para hallar el valor de los ingresos máximos:

I(x)= -500x^2+8000x+40000

I(8)= -500cdot 8^2+8000cdot 8+40000 = bm{72000}

Y el precio de cada patinete después de hacer 8 veces la rebaja de 50€ será:

text{Precio de cada patinete} = 1000 -50x

text{Precio de cada patinete} = 1000 -50cdot 8=bm{600}

Problema 3

La función de costes (en miles de €) de una empresa se puede determinar mediante la siguiente expresión:

f(x)=40-6x+x^2, quad x ge  0

Donde x representa los millares de unidades producidos de un determinado artículo.

Determina la cantidad que se debe producir para que el coste sea mínimo, cuál es ese coste y cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo.

Ver solución

Paso 1: Plantear la función a optimizar.

El enunciado del problema ya nos proporciona la función a optimizar, que es displaystyle f(x)=40-6x+x^2 .

Paso 2: Calcular la derivada de la función a optimizar.

f(x)=40-6x+x^2  longrightarrow  f'(x)=-6+2x

Paso 3: Buscar los puntos críticos.

Para buscar los puntos críticos de la función, resolvemos f'(x)=0:

f'(x)=0

-6+2x=0

2x=6

x=cfrac{6}{2} = 3

Paso 4: Estudiar la monotonía de la función y determinar el máximo o el mínimo de la función.

Representamos en la recta el punto crítico encontrado:

Y ahora evaluamos el signo de la derivada en cada intervalo, para saber si la función crece o decrece. De manera que cogemos un punto de dentro de cada intervalo (nunca el punto crítico) y miramos qué signo tiene la derivada en ese punto:

f'(0)=-6+2cdot 0=-6 rightarrow  bm{-}

f'(4)=-6+2cdot 4=-6+8=2 rightarrow  bm{+}

Si la derivada es mayor que cero, la función crece en ese intervalo. En cambio, si la derivada es menor que cero, la función decrece en ese intervalo. De forma que los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función son:

Crecimiento:bm{(3,+infty)}

Decrecimiento: bm{(-infty,3)}

La función pasa de ser decreciente a ser creciente en x=3, así que x=3 es un mínimode la función. Por tanto, el coste mínimo se conseguirá produciendo 3 millares de unidades.

Ahora sustituimos el valor en el que se consigue el coste mínimo en la función original para hallar el valor del coste mínimo:

f(3)=40-6cdot 3+3^2=bm{31} miles de €.

Por otro lado, nos preguntan cuál sería el coste si no se produjese nada, es decir cuando x= 0 . Por tanto, debemos calcular f(0):

f(0)=40-6cdot 0+0^2=   bm{40} miles de €.

Problema 4

Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de 2 m2. Sabemos que el precio de la madera es de 7,5 €/m para los lados horizontales y de 12,5 €/m para los lados verticales. Determina las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible y dicho coste mínimo.

Ver solución

Paso 1: Plantear la función a optimizar.

Para resolver el problema, llamaremos al lado horizontal x, y al lado vertical y:

problemas de optimizacion de funciones rectangulo

Comprar un lado horizontal cuesta 7,5 €, y comprar un lado vertical 12,5 €. Además, por cada marco necesitamos dos lados horizontales y dos lados verticales. Por tanto, el coste del marco se puede determinar con la siguiente función:

C(x,y)= 7,5cdot 2x+12,5 cdot 2y = 15x +25y

Ya tenemos la función a optimizar. Pero esta depende de dos variables cuando solo puede depender de una. Sin embargo, el enunciado nos dice que el área del marco debe ser de 2 m2. Por tanto:

x cdot y = 2

Despejamos la variable y:

y =cfrac{2}{x}

Y sustituimos la expresión hallada en la función a optimizar:

C(x,y)= 15x +25y xrightarrow{y  =  frac{2}{x} }  C(x)= 15x+25left(cfrac{2}{x} right)

C(x)= 15x+cfrac{50}{x} =15x +50x^{-1}

Paso 2: Calcular la derivada de la función a optimizar.

C(x)=15x +50x^{-1}  longrightarrow  C'(x)=15 -50x^{-2}

Paso 3: Buscar los puntos críticos.

Para buscar los puntos críticos de la función, resolvemos C'(x)=0:

C'(x)=0

15 -50x^{-2}=0

15 =50x^{-2}

15=cfrac{50}{x^2}

cfrac{15}{1}=cfrac{50}{x^2}

Multiplicamos en cruz para resolver la ecuación con fracciones:

15 cdot x^2 = 50 cdot 1

x^2 = cfrac{50}{15}

x^2 = 3,33

sqrt{x^2} = sqrt{3,33}

x = 1,83

Paso 4: Estudiar la monotonía de la función y determinar el máximo o el mínimo de la función.

Representamos en la recta el punto crítico hallado para analizar la monotonía de la función:

Y ahora evaluamos el signo de la derivada en cada intervalo, para saber si la función crece o decrece. De manera que cogemos un punto de dentro de cada intervalo (nunca el punto crítico) y miramos qué signo tiene la derivada en ese punto:

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