Limites de funciones trigonometricas indeterminadas

Contenidos
  1. Ejemplos de formas indeterminadas de límites
    1. Cómo resolver los límites indeterminados
    2. Identidades trigonométricas
    3. Cómo resolver límites con la regla de l hopital

Ejemplos de formas indeterminadas de límites

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla "estrecho" (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo horizontal, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

En el primer límite si nos enchufamos en \(x = 4\\) obtendríamos 0/0 y en el segundo límite si nos "enchufado" en el infinito obtendríamos \({\infty }/{-\infty }\;\) (recordemos que como \(x\) va al infinito un polinomio se comportará de la misma manera que su mayor potencia se comporta). Ambos casos se denominan formas indeterminadas. En ambos casos hay intereses o reglas que compiten y no está claro cuál ganará.

En el caso de 0/0 solemos pensar que una fracción cuyo numerador es cero es cero. Sin embargo, también tendemos a pensar que las fracciones en las que el denominador va a cero, en el límite, son infinitas o podrían no existir en absoluto. Del mismo modo, tendemos a pensar que una fracción en la que el numerador y el denominador son iguales es uno. Entonces, ¿cuál ganará? ¿O ninguno de los dos ganará y todos se "anularán" y el límite alcanzará algún otro valor?

Cómo resolver los límites indeterminados

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla "estrecho" (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se desplazarán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

En esta sección vamos a proporcionar la prueba de los dos límites que se utilizan en la derivación de la derivada del seno y del coseno en la sección Derivadas de funciones trigonométricas del capítulo Derivadas.

Esta prueba de este límite utiliza el Teorema del Apriete. Sin embargo, poner las cosas en orden para usar el Teorema de Squeeze puede ser un argumento geométrico algo complejo que puede ser difícil de seguir, así que intentaremos ir despacio.

Vamos a empezar por suponer que \(0 \le \theta \le \frac{\pi }{2}\). Puesto que estamos demostrando un límite que tiene \(\theta \a 0\) está bien suponer que \(\theta \) no es demasiado grande (es decir, \(\theta \le \frac{\pi }{2}\)). Además, suponiendo que \(\theta \) es positivo en realidad primero vamos a demostrar que el límite anterior es cierto si es el límite de la derecha. Como se verá si podemos demostrar esto, entonces la prueba del límite será fácil.

Identidades trigonométricas

Entonces la función \(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}) tiene la forma indeterminada \(\frac{0}{0}\) en x = a. Para encontrar el límite en x = a cuando la función \(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}) tiene la forma indeterminada \(\frac{0}{0}\) en este punto, debemos factorizar el numerador y el denominador y luego reducir los términos que se acercan a cero.

\En este punto, debemos factorizar el numerador y el denominador y, a continuación, reducir los términos que se acercan a cero. + 3{y^2} + 2y}}{{{y^2}} - y - 6}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \limits_{y \to - 2} \frac{y\left( {y + 1} \right)\cancel{\left( {y + 2} \right)}}{{left( {y - 3} \right)\cancel{\left( {y + 2} \right)}} = \lim\limits_{y \to - 2} \frac{y\left( {y + 1} \right)}}{y - 3}} = \frac{{{limits_y \to - 2} y \cdot \limits_y \to - 2} \left( {y + 1} \right)}} { {{limits_y \to - 2} \left( {y - 3} \right)}} = {{frac{ { - 2 \cdot \left( { - 1} \right)}} {{ - 5}} = - {{frac{2}{5}. \]

\...limita x a 1... \frac{{sqrt[3]{x} - 1}}{x - 1}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \limits_{x {a 1} {\frac{\cancel} {\sqrt[3]{x} - 1} {\cancel} {\left({\sqrt[3]{x} - 1} \right)} {\left( {\sqrt[3]{{x^2}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \limits_{x \x \to 1} \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + cuadrado[3]{x}} + 1}} = \frac{1}{\sqrt[3]{{1^2}} ...+ 1... + 1}} = \frac{1}{3}.\]

Cómo resolver límites con la regla de l hopital

Las funciones trigonométricas pueden ser componentes de una expresión y, por tanto, estar sujetas a un proceso de límites. ¿Crees que la naturaleza periódica de estas funciones y el rango limitado o infinito de las funciones trigonométricas individuales dificultarían la evaluación de límites que implican estas funciones?

Esta característica, que el límite de una función puede ser el resultado de que la función esté acotada o comprimida por otras dos funciones, es la base del Teorema del Estrujamiento. El Teorema del Squeeze (también conocido como Teorema del Sándwich) afirma:

En otras palabras, si podemos encontrar límites para una función que tienen el mismo límite, entonces el límite de la función que limitan debe tener el mismo límite. Nótese que a y L pueden ser cualquier constante o incluso ∞ o -∞.

En otras palabras, si podemos encontrar límites para una función que tienen el mismo límite, entonces el límite de la función que limitan debe tener el mismo límite. Observa que a y L pueden ser cualquier constante o incluso ∞ o -∞.

Anteriormente, se le preguntó si la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas y el rango limitado o infinito de las funciones trigonométricas individuales dificultan la evaluación de límites que implican funciones trigonométricas.

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