Ley de seno coseno y tangente

Contenidos
  1. Identidades trigonométricas
    1. Seno, coseno tangente
    2. Círculo unitario sin cos
    3. Ley de los senos

Identidades trigonométricas

Esta relación explica el plural "s" de la Ley de los Senos: al fin y al cabo, hay 3 senos. Otra relación importante entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo se expresa mediante la ley de los cosenos.

¿Por qué utilizamos el plural "s" en la ley de los cosenos? La expresión en sí implica un único coseno, pero por rotación (o, como podría haber dicho A. Einstein, por simetría) son válidas fórmulas similares para otros ángulos:

De hecho, desconozco las fuentes exactas de la nomenclatura existente. Pero hay otra pluralidad relacionada con la Ley de los Cosenos. La mayoría de las pruebas de la Ley consideran por separado los casos de triángulos agudos, rectángulos y obtusos. Esto es una manifestación del hecho de que el coseno, a diferencia del seno, cambia de signo en el intervalo 0° - 180° de los ángulos válidos de un triángulo. El seno es siempre positivo en este intervalo; el coseno es positivo hasta 90°, donde se convierte en 0, y es negativo después.

La esencia de la Ley de los Cosenos es conocida por Euclides, que demostró el caso obtuso como II.12 y el caso agudo como II.13. He aquí cómo podría traducirse el primero al castellano llano [Euclides, p. 403-404]:

Seno, coseno tangente

En el módulo Introducción a la trigonometría hemos demostrado que, si conocemos los ángulos y un lado de un triángulo rectángulo, podemos hallar los demás lados mediante las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Del mismo modo, si conocemos dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo, podemos hallar todos los ángulos.

Pronto se hace evidente que en algunos casos necesitamos poder definir la razón trigonométrica de un ángulo obtuso. Esto nos permite abordar una gama más amplia de problemas y aplicaciones. También proporcionará el modelo para extender la definición de las razones trigonométricas a cualquier ángulo. Esta idea se retomará en el módulo Las funciones trigonométricas.

En el módulo Introducción a la trigonometría - 9º-10º curso, definimos las tres razones trigonométricas estándar seno, coseno y tangente de un ángulo θ, denominado ángulo de referencia, en un triángulo rectángulo.

Los alumnos deben aprender a fondo estas razones. Una nemotecnia sencilla que puede ayudarles es SOH CAH TOA, que consiste en la primera letra de cada razón y la primera letra de los lados que forman esa razón.

Círculo unitario sin cos

La ley de las tangentes, aunque no es tan comúnmente conocida como la ley de los senos o la ley de los cosenos, es equivalente a la ley de los senos, y puede utilizarse en cualquier caso en el que se conozcan dos lados y el ángulo incluido, o dos ángulos y un lado.

{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}(\alpha -\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}(\alpha +\beta )}{2\sin {\tfrac {1}{2}(\alpha +\beta )\}, \cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha - \{\frac {sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}= {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}. }

se puede calcular α - β; junto con α + β = 180° - γ se obtiene α y β; el lado restante c se puede calcular utilizando la ley de los senos. En la época anterior a las calculadoras electrónicas, este método era preferible a la aplicación de la ley de los senos.

era preferible a una aplicación de la ley de los cosenos c = √a2 + b2 - 2ab cos γ, ya que esta última ley necesitaba una búsqueda adicional en una tabla de logaritmos, para calcular la raíz cuadrada. En los tiempos modernos, la ley de las tangentes puede tener mejores propiedades numéricas que la ley de los cosenos: Si γ es pequeño, y a y b son casi iguales, entonces una aplicación de la ley de los cosenos conduce a una resta de valores casi iguales, incurriendo en una cancelación catastrófica.

Ley de los senos

Por lo general, en el ACT habrá unas 4-6 preguntas relacionadas con la trigonometría (las directrices oficiales del ACT dicen que los problemas de trigonometría representan el 7% del examen). Pueden parecer complicadas a primera vista, pero la mayoría se reducen a unos pocos conceptos sencillos.

Este artículo será tu guía completa sobre la trigonometría que necesitarás saber para el ACT. Te llevaremos a través del significado de la trigonometría, las fórmulas y la comprensión que necesitarás saber, y cómo hacer frente a algunos de los más difíciles problemas de trigonometría del ACT.

La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos. Las relaciones entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo y las medidas de sus ángulos son constantes, independientemente de lo grande o pequeño que sea el triángulo.

Si conoces la medida de un lado y de un ángulo que no sea de 90° del triángulo rectángulo, podrás determinar el resto de lados y ángulos del triángulo. Y si conoces las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, podrás hallar la medida de todos los ángulos interiores.

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