integrales trigonométricas

¿Qué son las fórmulas de reducción?

En la disciplina del cálculo integral, una fórmula de reducción es un medio de integrar una función, es decir, encontrar el área de una curva debajo de la función o una función que describe el área debajo de esa curva. Se utiliza una fórmula de reducción cuando una expresión contiene un parámetro entero que no se puede integrar directamente. Una fórmula de reducción le permite al matemático simplificar la integral para que pueda ser evaluada.

¿Cuáles son las fórmulas de reducción trigonométrica?

Las fórmulas trigonométricas de reducción integral son un tipo de fórmula de reducción y son útiles cuando los exponentes son demasiado altos para trabajar con ellos fácilmente. Se pueden usar con cualquier potencia de una función trigonométrica que sea mayor que uno. Las siguientes son las seis fórmulas de reducción que utilizan las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

  1. ∫ sen n aXdX = – [(sen n-1 aX cos aX)/an] + (n-1)/n ∫ sen n-2 aXdX
  1. ∫ cos n aXdX = (cos n-1 aX sen aX)/an + (n-1)/n ∫ cos n-2 aXdX
  1. ∫ tan n aXdX = tan n-1 aX/a(n-1) – ∫ tan n-2 aXdX
  1. ∫ cuna n aXdX = – [cot n-1 aX/a(n-1)] – ∫ cuna n-2 aXdX
  1. ∫ segundo n aXdX = (segundo n-2 aX tan aX)/a(n-1) + (n-2)/(n-1) ∫ segundo n-2 aXdX
  1. ∫ csc n aXdX = – [(csc n-2 aX cot aX)/a(n-1)] + (n-2)/(n-1) ∫ csc n-2 aXdX

Al usar una de estas fórmulas en una integral con un exponente de 3 o mayor, el primer resultado aún incluirá una integral al final que debe reducirse. Si el exponente es mayor que uno, simplemente usamos la fórmula nuevamente hasta que el resultado final tenga un exponente de 1 o ningún exponente.

Integración de funciones trigonométricas compuestas

Cuando una función trigonométrica está anidada dentro de otra, la expresión se denomina función trigonométrica compuesta. Se puede expresar como F(g(x)). Este tipo de ecuación se puede integrar sustituyendo u por g(x) cuando sabemos cómo integrar F y cuando g(x) deriva a una constante. A menudo, el producto de dos o más funciones trigonométricas se puede encontrar usando la sustitución que se describe a continuación. Por ejemplo, para resolver la ecuación

F(x) = ∫ sen 3 X cosX dX

podemos sustituir la variable u por senX y du por cosX dX, dando

F(x) = ∫ tu 3 du

Sin embargo, si el seno y el coseno en la ecuación anterior tienen exponentes, necesitamos usar un método diferente. Por ejemplo, si la ecuación es

F(x) = ∫ sen 5 x cos 3 x dx

podemos usar la fórmula de identidad sen 2 x + cos 2 x = 1 para cambiar las potencias del coseno (excepto uno) en senX. Esto conduce a una forma más simple de la ecuación que se puede resolver con la sustitución u y du anterior.

Un caso diferente ocurre cuando tanto el seno como el coseno tienen exponentes pares. En ese caso, necesitamos usar la fórmula de identidad para cambiar todos los senos a cosenos (o viceversa) en lugar de dejar uno. Luego, usaremos una de las fórmulas trigonométricas de reducción integral anteriores en cada parte de la ecuación. Una vez que hacemos cada integral por separado, las volvemos a juntar en la ecuación original. Con las fórmulas de identidad, cualquier término trigonométrico se puede convertir en senos y cosenos.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Subir

Utilizamos cookies para asegurar que damos la mejor experiencia al usuario en nuestra web. Si sigues utilizando este sitio asumiremos que estás de acuerdo.