Funciones y limites

Contenidos
  1. Qué son los límites
  2. ¿Cuál es la diferencia entre función y límite?
  3. ¿Qué son los ejemplos de límites de función?
  4. ¿Cómo se relacionan los límites y las funciones?
    1. Límite de la fórmula de una función
    2. Ejemplos de límite de una función
    3. Calculadora de límites

Qué son los límites

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En la sección anterior vimos un par de problemas y en ambos problemas teníamos una función (pendiente en el caso del problema de la tangente y tasa media de cambio en el problema de la tasa de cambio) y queríamos saber cómo se comportaba esa función en algún punto \(x = a\). A estas alturas del juego ya no nos importa de dónde vienen las funciones y tampoco nos importa si las vamos a volver a ver más adelante o no. Lo único que necesitamos saber o preocuparnos es que tenemos esas funciones y queremos saber algo sobre ellas.

Para responder a las preguntas de la última sección elegimos valores de \(x\) que se acercaban cada vez más a \(x = a\) y los introdujimos en la función. También nos aseguramos de que nos fijamos en los valores de \(x\) que estaban tanto a la izquierda como a la derecha de \(x = a\). Una vez hecho esto nos fijamos en nuestra tabla de valores de la función y vimos lo que los valores de la función se acercaban a medida que \(x\) se acercaba más y más a \(x = a\) y utilizamos esto para adivinar el valor que estábamos buscando.

¿Cuál es la diferencia entre función y límite?

El valor de una función es el cálculo real realizado en un punto determinado. El límite es, a grandes rasgos, el valor en puntos que están "arbitrariamente cerca" del mismo punto. Para la mayoría de las funciones más utilizadas, el valor de una función en un punto y el límite en el mismo punto son iguales, al menos para la mayoría de los valores.

¿Qué son los ejemplos de límites de función?

Por ejemplo, tomemos la función f(x) = x + 4. Si evalúas la función en x = 5, la función es igual a: f(5) = 5 + 4 = 9. Ese número, 9, es el límite de esta función en x = 5. Ese número, 9, es el límite de la función en x = 5.

¿Cómo se relacionan los límites y las funciones?

La ley de diferencia de límites establece que el límite de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de los límites de dos funciones. La ley del múltiplo constante de los límites establece que el límite de un múltiplo constante de una función es igual al producto de la constante por el límite de la función.

Límite de la fórmula de una función

El concepto de límite o proceso de limitación, esencial para entender el cálculo, existe desde hace miles de años. De hecho, los primeros matemáticos utilizaban un proceso de limitación para obtener aproximaciones cada vez mejores de las áreas de los círculos. Sin embargo, la definición formal de límite, tal y como la conocemos y entendemos hoy en día, no apareció hasta finales del siglo XIX. Por tanto, comenzamos nuestra búsqueda para entender los límites, como hicieron nuestros antepasados matemáticos, utilizando un enfoque intuitivo. Al final de este capítulo, armados con una comprensión conceptual de los límites, examinaremos la definición formal de límite.

Cada una de las tres funciones es indefinida en x=2,x=2, pero si hacemos esta afirmación y ninguna otra, damos una imagen muy incompleta de cómo se comporta cada función en las proximidades de x=2,x=2. Para expresar de forma más completa el comportamiento de cada gráfica en las proximidades de 2, necesitamos introducir el concepto de límite.

Veamos primero cómo se comporta la función f(x)=(x2-4)/(x-2)f(x)=(x2-4)/(x-2) alrededor de x=2x=2 en la figura 2.12. A medida que los valores de x se aproximan a 2 desde cualquier lado de 2, los valores de y=f(x)y=f(x) se aproximan a 4. Matemáticamente, decimos que el límite de f(x)f(x) a medida que x se acerca a 2 es 4. Simbólicamente, expresamos este límite como

Ejemplos de límite de una función

Aunque la función (sen x)/x no está definida en cero, a medida que x se acerca más y más a cero, (sen x)/x se aproxima arbitrariamente a 1. En otras palabras, el límite de (sen x)/x, a medida que x se aproxima a cero, es igual a 1.

A continuación se dan las definiciones formales, ideadas por primera vez a principios del siglo XIX. Informalmente, una función f asigna una salida f(x) a cada entrada x. Decimos que la función tiene un límite L en una entrada p, si f(x) se acerca cada vez más a L a medida que x se acerca cada vez más a p. Más concretamente, cuando f se aplica a cualquier entrada suficientemente cercana a p, el valor de salida se fuerza a acercarse arbitrariamente a L. Por otro lado, si algunas entradas muy cercanas a p se llevan a salidas que permanecen a una distancia fija, entonces decimos que el límite no existe.

La noción de límite tiene muchas aplicaciones en el cálculo moderno. En particular, las numerosas definiciones de continuidad emplean el concepto de límite: grosso modo, una función es continua si todos sus límites coinciden con los valores de la función. El concepto de límite también aparece en la definición de la derivada: en el cálculo de una variable, es el valor límite de la pendiente de las rectas secantes a la gráfica de una función.

Calculadora de límites

Los límites en matemáticas se definen como los valores a los que una función se aproxima a la salida para los valores de entrada dados. Los límites desempeñan un papel vital en el cálculo y el análisis matemático y se utilizan para definir integrales, derivadas y continuidad. Se utiliza en el proceso de análisis y siempre se refiere al comportamiento de la función en un punto determinado. El límite de una sucesión se generaliza en el concepto de límite de una red topológica y se relaciona con el límite y el límite directo en la categoría de teoría. Generalmente, las integrales se clasifican en dos tipos: integrales definidas e indefinidas. En las integrales definidas, el límite superior y el límite inferior se definen correctamente. Mientras que las integrales indefinidas se expresan sin límites, y tendrá una constante arbitraria al integrar la función. Vamos a discutir la definición y representación de los límites de la función, con propiedades y ejemplos en detalle.

Los límites en matemáticas son números reales únicos. Consideremos una función de valor real "f" y el número real "c", el límite se define normalmente como \(\lim _{x \rightarrow c} f(x)=L\). Se lee como "el límite de f de x, a medida que x se acerca a c es igual a L". El "lim" muestra el límite, y el hecho de que la función f(x) se aproxima al límite L a medida que x se aproxima a c se describe con la flecha de la derecha.

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