Ejercicios de derivadas logaritmicas

Contenidos
  1. Derivadas de funciones logarítmicas reglas
    1. Ejemplos de diferenciación logarítmica con respuestas
    2. Problemas prácticos de diferenciación logarítmica
    3. Diferenciación logarítmica

Derivadas de funciones logarítmicas reglas

Como hemos visto, existe una estrecha relación entre las derivadas de \(\ds e^x\) y \(\ln x\) porque estas funciones son inversas. En lugar de basarnos en imágenes para entenderlo, nos gustaría poder explotar esta relación computacionalmente. De hecho, esta técnica puede ayudarnos a encontrar derivadas en muchas situaciones, no sólo cuando buscamos la derivada de una función inversa.

Empezaremos ilustrando la técnica para hallar lo que ya sabemos, la derivada de \(\ln x\text{.}\) Escribamos \(y=\ln x\) y entonces \(\ds x=e^{\ln x}=e^y\text{,}\) es decir, \(\ds x=e^y\text{. Decimos que esta ecuación define la función \(y=\ln x\) implícitamente porque aunque no es una expresión explícita \(y=\ldots\text{,}\) es cierto que si \(\ds x=e^y\) entonces \(y\) es de hecho la función logaritmo natural. Ahora, por el momento, supongamos que todo lo que sabemos de \(y\) es que \(\ds x=e^y\text{;}\) ¿qué podemos decir acerca de las derivadas? Podemos tomar la derivada de ambos lados de la ecuación:

Ejemplos de diferenciación logarítmica con respuestas

Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluyendo funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Como vimos en Introducción a las funciones y gráficas, las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en la modelización del crecimiento de la población y la desintegración de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son particularmente útiles para reescribir expresiones complicadas.

Al igual que cuando hallamos las derivadas de otras funciones, podemos hallar las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. Al desarrollar estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estas suposiciones se mantienen están fuera del alcance de este curso.

También suponemos que para B(x)=bx,b>0,B(x)=bx,b>0, existe el valor B′(0)B′(0) de la derivada. En esta sección, mostramos que haciendo esta suposición adicional, es posible demostrar que la función B(x)B(x) es diferenciable en todas partes.

Problemas prácticos de diferenciación logarítmica

Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluyendo funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploraremos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Como vimos en Introducción a las funciones y gráficas, las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en la modelización del crecimiento de la población y la desintegración de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son particularmente útiles para reescribir expresiones complicadas.

Al igual que cuando hallamos las derivadas de otras funciones, podemos hallar las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. Al desarrollar estas fórmulas, necesitamos hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estos supuestos se cumplen están fuera del alcance de este curso.

En primer lugar, comenzamos con la suposición de que la función , está definida para cada número real y es continua. En cursos anteriores, se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales -comenzando con la definición de , donde es un número entero positivo- como el producto de multiplicado por sí mismo veces. Más tarde, definimos para un entero positivo , y para enteros positivos y . Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de donde es un número real arbitrario. Asumiendo la continuidad de , podemos interpretar como donde los valores de a medida que tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver como el número que satisface

Diferenciación logarítmica

Al igual que con la función seno, no sabemos nada sobre derivadas que nos permita calcular las derivadas de las funciones exponencial y logarítmica sin volver a lo básico. Volvamos a trabajar un poco con la definición:

Hay dos cosas interesantes a tener en cuenta aquí: Como en el caso de la función seno nos quedamos con un límite que implica \(\\Delta x\) pero no \(x\text{,}\) lo que significa que si \(\ds \lim_{\Delta x\\ hasta 0} (a^{\Delta x}-1)/\Delta x\) existe, entonces es un número constante. Esto significa que \(\ds a^x\) tiene una propiedad notable: su derivada es una constante por sí misma.

Anteriormente comentamos que el límite más difícil de calcular es \(\ds \lim_{x\\to0}\sin x/x=1\text{;}\) ahora tenemos un límite que es sólo un poco demasiado difícil de incluir aquí. De hecho, la parte difícil es ver que (\ds \lim_{\Delta x\\to 0} (a^ {\Delta x}-1)/\Delta x\) incluso existe - ¿esta fracción realmente acercarse más y más cerca de algún valor fijo? Sí, lo hace, pero vamos a demostrar esta propiedad al final de esta sección.

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