Derivada de tan inversa

Contenidos
  1. Derivada de la inversa
    1. Tan 1 2
    2. Derivada arcsin
    3. Tangente inversa

Derivada de la inversa

Antes de evaluar el valor de arctan 1, recordemos el significado de arctan. Arctan es la forma abreviada de arctangente, que es una de las seis principales funciones trigonométricas inversas (inversa de la función tangente), también conocida como tan inversa. El valor de arctan 1 o tan inverso 1 es igual a π/4 radianes o 45 grados. Tan inverso 1 da la medida de un ángulo de un triángulo rectángulo cuando la razón de la perpendicular y la base es igual a 1. Podemos evaluar este valor utilizando el hecho de que el valor de la función tangente en un ángulo de 45 grados es igual a 1.

En este artículo, comprenderemos la evaluación del valor de arctan 1 en grados y radianes utilizando hechos y fórmulas trigonométricas. También resolveremos algunos ejemplos y evaluaremos el valor de varias funciones trigonométricas inversas utilizando el valor de arctan 1 para comprender mejor el concepto.

Arctan 1 (o tan inverso 1) da el valor de la función trigonométrica inversa arctan cuando la razón de la perpendicular y la base de un triángulo rectángulo es igual a 1. En otras palabras, podemos decir que el valor de tan inverso 1 es la medida del ángulo de un triángulo rectángulo cuando la razón del lado opuesto y el lado adyacente al ángulo es igual a 1. El valor de tan inverso 1 es igual a 45° o π/4 radianes. Vamos a demostrar este valor de arctan 1 en la siguiente sección.

Tan 1 2

Antes de ver cuál es la derivada de arctan, veamos algunos datos sobre arctan. Arctan (o) tan-1 es la función inversa de la función tangente. Es decir, si y = tan-1x entonces tan y = x. Además, sabemos que si f y f-1 son funciones inversas entre sí entonces f(f-1(x)) = f-1(f(x)) = x. Por tanto, tan(arctan x) = arctan(tan x) = x en los respectivos dominios. Usamos estos hechos para hallar la derivada de arctan x.

La derivada de arctan x se representa por d/dx(arctan x) (o) d/dx(tan-1x) (o) (arctan x)' (o) (tan-1x)'. Su valor es 1/(1+x2). Vamos a demostrarlo por dos métodos en las próximas secciones. Los dos métodos son

La derivada de una función f(x) por el primer principio viene dada por el límite, f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) - f(x)] / h. Para hallar la derivada de arctan x, supongamos que f(x) = arctan x. Entonces f(x + h) = arctan (x + h). Sustituyendo estos valores en el límite anterior,

Para derivar la derivada de arctan, supongamos que y = arctan x entonces tan y = x. Diferenciando ambos lados con respecto a y, entonces sec2y = dx/dy. Tomando el recíproco de ambos lados, dy/dx = 1/(sec2y) = 1/(1+tan2y) = 1/(1+x2).

Derivada arcsin

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En esta sección vamos a ver las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Para derivar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas necesitaremos la fórmula de la última sección que relaciona las derivadas de las funciones inversas. Si \(f\left( x \right)\) y \(g\left( x \right)\) son funciones inversas entonces,

Por tanto, evaluar una función trigonométrica inversa es lo mismo que preguntarnos qué ángulo (es decir, \(y\)) hemos introducido en la función seno para obtener \(x\). Las restricciones sobre \(y\) dadas anteriormente están ahí para asegurarse de que obtenemos una respuesta coherente de la inversa del seno. Sabemos que hay de hecho un número infinito de ángulos que va a trabajar y queremos un valor coherente cuando trabajamos con seno inverso. Usando el rango de ángulos anterior se obtienen todos los valores posibles de la función seno exactamente una vez. Si no estás seguro de ello dibuja un círculo unitario y verás que ese rango de ángulos (los \(y\)'s) cubrirá todos los valores posibles de seno.

Tangente inversa

Paso 1Combina fracciones.Toca para más pasos...Combina y .Combina y .Paso 2Diferencia usando la Regla del Producto, que establece que es donde y .Paso 3Diferencia usando la regla de la cadena, que establece que es donde y .Toca para más pasos...Para aplicar la Regla de la Cadena, establece como .La derivada de con respecto a es . Paso 4Levante a la potencia de .Paso 5Use la regla de la potencia para combinar exponentes.Paso 6Diferencie.Toque para más pasos...Sume y .Dado que es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .Combine y .Diferencie usando la regla de la potencia que establece que es donde . Multiplica por .Paso 7Diferencia usando la regla de la cadena, que establece que es donde y .Pulsa para ver más pasos...Para aplicar la regla de la cadena, establece como .La derivada de con respecto a es .Sustituye todas las ocurrencias de por .Paso 8Levántala a la potencia de .Paso 9Levántala a la potencia de . Paso 10Utiliza la regla de la potencia para combinar exponentes.Paso 11Añade y .Paso 12Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .Paso 13Combina fracciones.Toca para más pasos...Combina y .Combina y .Paso 14Diferencia usando la Regla de la Potencia que establece que es donde .Paso 15Multiplica por .

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