Derivada de la funcion producto

Contenidos
  1. Derivada de la función compuesta
    1. Derivada de la función inversa
    2. Regla del producto derivado de la matriz
    3. Regla del producto en cálculo multivariable

Derivada de la función compuesta

entonces,Q ′ ( x ) = g ( x ) f ′ ( x ) - f ( x ) g ′ ( x ). Las reglas del producto y del cociente, junto con las reglas del múltiplo constante y de la suma, nos permiten calcular la derivada de cualquier función compuesta de sumas, múltiplos constantes, productos y cocientes de funciones básicas.

Respuesta: Para determinar la derivada de una suma, basta con sumar las derivadas. La siguiente fórmula lo ejemplifica. Tu jefe quiere que te ocupes de la primera función, que es la suma de dos funciones. En consecuencia, para obtener la derivada de esta función, simplemente sumamos las derivadas.

Respuesta: Según la regla del cociente, la derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido por el cuadrado del denominador.

Respuesta: La derivada de una función que es la suma de otras dos funciones es igual al total de sus derivadas. Esto se puede demostrar utilizando el método de la derivada por definición o el método del primer principio.

Derivada de la función inversa

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Primero veamos por qué tenemos que tener cuidado con los productos y cocientes. Supongamos que tenemos las dos funciones \(f\left( x \right) = {x^3}\) y \(g\left( x \right) = {x^6}\). Empecemos por calcular la derivada del producto de estas dos funciones. Esto es bastante fácil de hacer directamente.

En este punto realmente no hay muchas razones para utilizar la regla del producto. Como hemos señalado en la sección anterior todo lo que tendríamos que hacer para cualquiera de estos es simplemente multiplicar el producto y luego diferenciar.

Dicho esto, usaremos la regla del producto para ver un ejemplo o dos. A medida que añadimos más funciones a nuestro repertorio y las funciones se vuelven más complicadas, la regla del producto será más útil y en muchos casos necesaria.

Regla del producto derivado de la matriz

Mostrar respuestaRespuestaContrastando las reglas de suma y resta con las reglas de multiplicación, (f + g)' = f ' + g 'y (f - g) ' = f ' - g ',pero(f × g)' ≠ f ' × g '.¿Qué hacemos? Necesitamos otra regla. Ésta se llama Regla del Producto, y establece que(fg)' = f ' g + fg '.

Mostrar respuestaRespuestaAhora tomamos la derivada de cada término:f ' (x) = 5x4 + 6x2 - 8x.Afortunadamente, encontramos la misma respuesta que obtuvimos usando la regla del producto.La regla del producto a veces es útil para comprobar respuestas.

Mostrar respuestaRespuestaTenemos que hallar la derivada de cada factor.(x2)' = 2xPara el otro, tenemos que usar la regla del producto:Ahora tenemos que acordarnos de juntarlo todo.Afortunadamente, ésta es la misma respuesta que obtuvimos antes.Multiplicar todo puede hacer que sea más fácil ver cuándo dos respuestas son iguales.

Mostrar respuestaUna forma es pensar en la función comof(x) = (x3sin x)cos x.En este caso,f ' (x) = (x3sin x)'cos x + (x3sin x)(cos x)'. Tenemos que volver a utilizar la regla del producto para hallar una de las derivadas que necesitamos:Ahora volvemos a poner esto en la regla del producto:La otra forma es pensar en la función comof(x) = (x3)(sen x cos x).En este caso, tendremos que utilizar la regla del producto para hallar(sen x cos x)'antes de poder hallar la derivada de la función original. Allá vamos:Mientras que cos2x + sin2x = 1, cos2x - sin2x no es nada en particular; no podemos hacerlo más bonito.Ahora podemos utilizar la regla del producto para hallar f'.Afortunadamente, encontramos la misma respuesta de cualquier forma.

Regla del producto en cálculo multivariable

La regla del producto en cálculo es un método para hallar la derivada o diferenciación de una función dada en forma de producto de dos funciones diferenciables. Es decir, podemos aplicar la regla del producto, o la regla de Leibniz, para hallar la derivada de una función de la forma: f(x)-g(x), siempre que tanto f(x) como g(x) sean diferenciables. La regla del producto sigue directamente el concepto de límites y derivadas en la diferenciación. Vamos a entender la fórmula de la regla del producto, su demostración utilizando ejemplos resueltos en detalle en las siguientes secciones.

La regla del producto en cálculo es un método utilizado para hallar la derivada de cualquier función dada en forma de producto obtenido por la multiplicación de dos funciones diferenciables cualesquiera. La regla del producto en palabras dice que la derivada de un producto de dos funciones diferenciables es igual a la suma del producto de la segunda función con la diferenciación de la primera función y el producto de la primera función con la diferenciación de la segunda función. Eso significa que si nos dan una función de la forma: f(x)-g(x), podemos encontrar la derivada de esta función utilizando la derivada de la regla del producto como,

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