Derivada de la función exponencial

En este post te explicamos cómo derivar una función exponencial. Encontrarás la fórmula de la derivada exponencial (de base a y de base e) y ejercicios resueltos de derivadas de funciones exponenciales.

La regla de la derivada de la función exponencial depende de la base de la potencia, ya que según si la base es un número cualquiera (a) o el número e, la función se deriva diferente. Por eso a continuación veremos cada caso por separado, y luego resumiremos las dos fórmulas para entender bien cómo derivar una función exponencial.

Contenidos
  1. Derivada de la función exponencial de base a
  2. Derivada de la función exponencial de base e
  3. Fórmula de la derivada exponencial
  4. Derivada exponencial de e a la x
  5. Ejercicios resueltos de derivadas de funciones exponenciales
    1. Ejercicio 1
    2. Ejercicio 2
    3. Ejercicio 3
    4. Ejercicio 4
    5. Ejercicio 5

Derivada de la función exponencial de base a

La derivada de la función exponencial de base a es igual al producto de la función por el logaritmo neperiano de la base de la potencia por la derivada del exponente.

f(x)=a^u quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=a^ucdot ln(a) cdot u'

Por ejemplo, la derivada de la siguiente función exponencial es:

f(x)=5^{x^2+1} quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=5^{x^2+1}cdot ln(5) cdot 2x

Derivada de la función exponencial de base e

La derivada de la función exponencial de base e es equivalente al producto de la misma función por la derivada del exponente.

f(x)=e^u quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=e^ucdot u'

Por ejemplo, la derivada del número e elevado a 4x es:

f(x)=e^{4x}quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=e^{4x} cdot 4=4e^{4x}

Fórmula de la derivada exponencial

Como hemos visto, la derivada de una función exponencial depende de su base. Y las dos fórmulas que se utilizan para derivar las funciones exponenciales son las siguientes:

derivada exponencial

Derivada exponencial de e a la x

Una vez hemos visto cuál es la fórmula de la derivada exponencial, vamos a analizar el caso de la derivada de e a la x, ya que es un caso curioso.

La derivada de la función e a la x siempre da como resultado la propia función, es decir, no importa cuantas veces derivemos la función ex que siempre conseguiremos la misma función.

begin{array}{c} f(x)=e^x \[2ex] f'(x)=e^x\[2ex] f''(x)=e^x\[2ex] f'''(x)=e^x\ vdots\ f^n(x)=e^xend{array}

Esta propiedad de la función e elevada a x se debe a que la derivada de x es 1. Por lo tanto, al hacer la derivación siempre multiplicamos la propia función por 1 y, en consecuencia, siempre obtenemos la función original como resultado.

f(x)=e^x quadlongrightarrowquad f'(x)=e^xcdot 1= e^x

Ejercicios resueltos de derivadas de funciones exponenciales

Ejercicio 1

Deriva la siguiente función exponencial:

f(x)=3^x

Ver solución

La función tiene como base un número diferente de e, así que debemos utilizar la siguiente fórmula:

f(x)=a^u quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=a^ucdot ln(a) cdot u'

De manera que la derivada de la función exponencial de base 3 es:

f(x)=3^x quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=3^xcdot ln(3) cdot 1=3^xcdot ln(3)

Ejercicio 2

Calcula la derivada de la siguiente función exponencial:

f(x)=7^{3x^2-4x}

Ver solución

La función de este ejercicio tiene como base un número distinto de e, por lo que debemos aplicar la siguiente fórmula:

f(x)=a^u quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=a^ucdot ln(a) cdot u'

De forma que la derivada de la función es:

f(x)=7^{3x^2-4x} quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}cdot ln(7) cdot (6x-4)

Ejercicio 3

Halla la derivada de la siguiente función exponencial de base e:

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

Ver solución

La función de este ejercicio sí que tiene como base el número e, así que podemos emplear la siguiente fórmula:

f(x)=e^u quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=e^ucdot u'

Y la derivación de la función exponencial resulta en:

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} cdot 3(5x^2-9x)^2cdot (10x-9)

Fíjate que para resolver esta derivada debemos utilizar la regla de la cadena.

Ejercicio 4

Encuentra la derivada de la siguiente función exponencial con una raíz como exponente:

f(x)=9^{sqrt{5x}}

Ver: derivada de una función radical

Ver solución

Aunque en el exponente hay una expresión radical, igualmente debemos usar la regla para derivar la función exponencial de base a:

f(x)=a^u quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=a^ucdot ln(a) cdot u'

Así que la derivada de la función exponencial compuesta es:

f'(x)=9^{sqrt{5x}}cdot ln(9) cdot cfrac{5}{2sqrt{5x}}

Ejercicio 5

Deriva la siguiente función exponencial de base e con un exponente fraccionario:

f(x)=e^{frac{x^2}{5-3x}}

Ver: derivada de un cociente de funciones

Ver solución

La base de la potencia es el número e, por lo que utilizaremos la siguiente regla para dividir la función:

f(x)=e^u quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=e^ucdot u'

De manera que la derivada de la función exponencial es:

begin{aligned}f'(x)=e^{frac{x^2}{5-3x}} cdot cfrac{2xcdot (5-3x)-x^2cdot (-3)}{(5-3x)^2}\[3ex] =e^{frac{x^2}{5-3x}} cdot cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\[3ex] =e^{frac{x^2}{5-3x}} cdot cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}end{aligned}

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