Derivada binomio al cuadrado

Contenidos
  1. Symbolab
  2. ¿Cuál es la derivada de x²?
  3. ¿Por qué la derivada de x2 es 2x?
    1. Derivada de la distribución binomial
    2. Mathway
    3. Wolfram alfa

Symbolab

En matemáticas, los coeficientes binomiales son los números enteros positivos que aparecen como coeficientes en el teorema del binomio. Comúnmente, un coeficiente binomial está indexado por un par de enteros n ≥ k ≥ 0 y se escribe

Las notaciones alternativas incluyen C(n, k), nCk, nCk, Ckn, Cnk, y Cn,k en todas las cuales la C representa combinaciones u opciones. Muchas calculadoras utilizan variantes de la notación C porque pueden representarla en una pantalla de una sola línea. En esta forma, los coeficientes binomiales se comparan fácilmente con k-permutaciones de n, escritas como P(n, k), etc.

Este número también aparece en combinatoria, donde indica el número de maneras, sin tener en cuenta el orden, en que se pueden elegir k objetos de entre n objetos; más formalmente, el número de subconjuntos de k elementos (o combinaciones de k) de un conjunto de n elementos. Este número puede verse como igual al de la primera definición, independientemente de cualquiera de las fórmulas siguientes para calcularlo: si en cada uno de los n factores de la potencia (1 + X)n se etiqueta temporalmente el término X con un índice i (que va de 1 a n), entonces cada subconjunto de k índices da tras la expansión una contribución Xk, y el coeficiente de ese monomio en el resultado será el número de tales subconjuntos. Esto demuestra en particular que

¿Cuál es la derivada de x²?

Solución. Encontramos que la derivada de x2 es igual a 2x.

¿Por qué la derivada de x2 es 2x?

El ((x+δ)² - x²) / δ) representa que estamos midiendo el cambio en el eje y y dividiéndolo por el cambio en el eje x. Entonces simplificamos la pregunta, lo que da como resultado 2x. Ahora hemos demostrado que la diferencial de x² es igual a 2x. Se puede hacer lo mismo con otras variables.

Derivada de la distribución binomial

No, no pueden ser iguales. Puesto que la media viene dada por np y la varianza por np(1-p), para que np sea igual a np(1-p), necesariamente 1-p=1, lo que significa que p=0. Esto significa que el experimento sólo falla y, por tanto, no sigue una distribución binomial.

Si X es una variable binomial, es decir, X~B(n,p), entonces la media es E(X)=np y la varianza es Var(X)=np(1-p), por lo que están relacionadas por Var(X)=(1-p)E(X).Si Y es una variable de Poisson, es decir, Y~Poi(λ), entonces la media es E(Y)=λ y la varianza es Var(Y)=λ, por lo que la media y la varianza son iguales.

Mathway

Un crédito contingente es un contrato de derivados que otorga al propietario el derecho, pero no la obligación, de recibir un pago futuro que depende del valor del activo subyacente. Las opciones de compra y venta son ejemplos de derechos contingentes.

La metodología de valoración sin arbitraje aplicada en esta lectura se basa en la ley del precio único. Esta ley sostiene que dos inversiones con flujos de caja futuros comparables tienen el mismo precio actual independientemente de lo que ocurra en el futuro.

En el modelo binomial de un período, comenzamos hoy (en el momento \(t = 0\)) cuando el precio de las acciones es \(S_0\). A continuación, el precio de las acciones puede saltar al alza o a la baja durante el intervalo de tiempo de un período, hasta \(t=1\). Esto se ilustra a continuación:

Consideremos una opción de venta europea con un precio de ejercicio de 50 $ sobre una acción cuyo precio inicial es de 50 $. El tipo de interés sin riesgo es del 4%, el factor de movimiento al alza u = 1,20 y el factor de movimiento a la baja d = 0,83. El precio de la opción de venta puede ser igual o superior al precio de ejercicio. El precio de la opción de venta puede determinarse utilizando el modelo binomial de un período de la siguiente manera:

Wolfram alfa

Binomio: expresión con sólo dos términos. De ahí la parte "bi" del nomial. En el caso del teorema del binomio estamos viendo términos que se parecen a $(a+b)^n$ y el "bi" se refiere a la a y la b antes de la expansión.

Observa que en cada línea (pero usando la última como ejemplo) el exponente de la a empieza en el valor de n (en este caso $n=4$) y disminuye en uno para cada término hasta que el exponente es cero. Observa que el exponente para b hace exactamente lo contrario, aumentando de 0 al valor de n. Este patrón por sí solo es bastante interesante en cierto sentido, y recordarlo puede ayudarte a conseguir algunos puntos en una pregunta difícil del BI.

Pero hay otro patrón que entusiasma especialmente a los "matemáticos". Si nos fijamos sólo en los coeficientes de los términos, éstos también forman un patrón. El patrón se conoce como Triángulo de Pascal. Las primeras líneas de su triángulo se muestran a continuación:

Cualquier número en el triángulo se puede encontrar sumando los dos números diagonalmente por encima de él. Por ejemplo, el 6 es la suma de los dos 3. El 4 es el producto del 1 y del 3. Conociendo este patrón se puede continuar rápidamente. La capa exterior del triángulo es siempre 1. Una buena visualización se puede encontrar en wikipedia y se copia a continuación

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