Asíntota horizontal

En este post te explicamos qué son las asíntotas horizontales de una función y cómo se calculan. También, encontrarás varios ejemplos de este tipo de asíntotas para entender completamente el concepto y, además, podrás practicar con ejercicios resueltos de asíntotas horizontales.

Contenidos
  1. ¿Qué es una asíntota horizontal?
  2. Cómo calcular la asíntota horizontal de una función
  3. Ejemplo de asíntota horizontal
  4. Ejercicios resueltos de asíntotas horizontales
    1. Ejercicio 1
    2. Ejercicio 2
    3. Ejercicio 3

¿Qué es una asíntota horizontal?

Una asíntota horizontal de una función es una recta horizontal a la cual su gráfica se va aproximando indefinidamente sin llegar nunca a cruzarla.Por lo tanto, la ecuación de una asíntota horizontal esy=k, dondekes el valor de la asíntota horizontal.

Es decir,kes una asíntota horizontal si el límite de la función cuandoxtiende a infinito es igual ak.

asintota horizontal de una funcion

La función anterior tiene una asíntota horizontal por los dos lados de la gráfica, pero una función puede tener una asíntota horizontal por un solo lado:

  • La función tiene una asíntota horizontal por la izquierda si el límite al menos infinito da un número real.
  • La función tiene una asíntota horizontal por la derecha si el límite al más infinito da un número real.

asintota horizontal de una funcion por la izquierdaasintota horizontal por la derecha

Cómo calcular la asíntota horizontal de una función

Para calcular la asíntota horizontal de una función, se deben seguir los siguientes pasos:

  1. Calcular el límite de la función en los infinitos (+∞ y -∞).
  2. Si algún límite en el infinito da un número real (k), la recta y=k es una asíntota horizontal de la función.
  3. Si ninguno de los dos límites da como resultado un número real, la función no tiene asíntotas horizontales.

Ejemplo de asíntota horizontal

Para que puedes ver un ejemplo de cómo se hace, vamos a sacar todas las asíntotas horizontales de la siguiente función racional:

f(x)=cfrac{x+1}{x-1}

Para determinar las asíntotas horizontales, tenemos que calcular el límite en el menos infinito y en el más infinito de la función:

displaystyle lim_{x to +infty} cfrac{x+1}{x-1} = cfrac{+infty}{+infty}= cfrac{1}{1} = bm{1}

displaystyle lim_{x to -infty} cfrac{x+1}{x-1} = cfrac{-infty}{-infty}= cfrac{1}{1} = bm{1}

Ver: cómo resolver la indeterminación infinito entre infinito

Los dos límites al infinito dan 1, por lo tanto, y=1 es la única asíntota horizontal de la función.

A continuación, tienes la función representada gráficamente. Como puedes ver, la función se va acercando mucho a y=1 (tanto en más infinito como en menos infinito), pero nunca lo llega a tocar porque es una asíntota horizontal.

asintota horizontal ejemplo

Nota: en el algunos casos especiales la función corta la asíntota horizontal en uno o más puntos, pero en general la gráfica de una función nunca llega a cruzar sus asíntotas.

Por otro lado, esta función también tiene una asíntota vertical en x=1. Porque, como ves en el gráfica, se acerca mucho a la recta x=1 pero nunca llega a tocar ese valor.

Ejercicios resueltos de asíntotas horizontales

Ejercicio 1

Encuentra la asíntota horizontal, si tiene, de la siguiente función fraccionaria:

displaystyle f(x)= frac{4x+3}{2x-1}

Ver solución

Para determinar las asíntotas horizontales de la función racional tenemos que calcular los límites al infinito de la función:

displaystyle lim_{x to +infty} frac{4x+3}{2x-1} = frac{4(+infty)}{2(+infty)} = frac{+infty}{+infty} = frac{4}{2} = bm{2}

displaystyle lim_{x to -infty} frac{4x+3}{2x-1} = frac{4(-infty)}{2(-infty)} = frac{-infty}{-infty} = frac{4}{2} = bm{2}

En este caso el resultado de la forma indeterminada ∞/∞es la división de los coeficientes de las x de mayor grado, ya que el numerador y el denominador son del mismo orden.

Los límites al más infinito y al menos infinito de la función dan 2, por tanto, y=2 es una asíntota horizontal y es la única que tiene la función.

Ejercicio 2

Halla todas las asíntotas horizontales de la siguiente función racional con una raíz:

displaystyle f(x)= frac{3x}{sqrt{x^2+2}}

Ver solución

Para hallar las asíntotas horizontales de la función, primero calculamos el límite al infinito positivo:

displaystyle lim_{x to +infty}frac{3x}{sqrt{x^2+2}}= frac{+infty}{+infty} = frac{3}{sqrt{1}} = bm{3}

Y luego resolvemos el límite de la función en el infinito negativo:

displaystyle lim_{x to -infty}frac{3x}{sqrt{x^2+2}}= frac{-infty}{+infty} = frac{-3}{sqrt{1}} = bm{-3}

Si tienes dudas de cómo se han resuelto los límites al infinito, te recomendamos que le eches un vistazo al enlace de más arriba de cómo resolver la indeterminación infinito entre infinito.

En este caso, hemos obtenido dos valores diferentes de los límites al infinito. De modo que la función tiene dos asíntotas horizontales: y=3 es una asíntota horizontal de la función por la derecha y, por otra parte, y=-3 es una asíntota horizontal de la función por la izquierda.

Ejercicio 3

Calcula las asíntotas horizontales de la siguiente función definida a trozos:

displaystyle f(x)=left{ begin{array}{lcl}displaystylefrac{3x-1}{x^2} text{si}  x<4\[4ex]displaystylefrac{x^3-2x+5}{2x^3-9}  text{si}  xgeq 4 end{array} right.

Ver solución

Para hacer el cálculo de las asíntotas horizontales de la función no existe ninguna fórmula, sino que debemos calcular los límites al más y al menos infinito.

Entonces, para hallar el límite al menos infinito cogemos la función definida en el primer tramo:

displaystyle lim_{x to -infty}frac{3x-1}{x^2}= frac{-infty}{+infty}=bm{0}

Así que la recta y=0 es una asíntota horizontal por la izquierda de la función.

Y ahora calculamos el límite al más infinito tomando la función definida en el segundo tramo:

displaystyle lim_{x to +infty}frac{x^3-2x+5}{2x^3-9}= frac{+infty}{+infty}=mathbf{frac{1}{2}}

De manera la recta y=1/2 es una asíntota horizontal por la derecha de la función.

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