3 rectas secantes perpendiculares

Contenidos
  1. Símbolo de línea secante
    1. Tangente y secante
    2. Líneas secantes y segmentos
    3. Círculo de línea secante

Símbolo de línea secante

Antes de empezar a sentar las bases de la derivada de una función, repasemos algunos conceptos y terminología. Recordemos que la pendiente de una recta se define como el cociente entre la diferencia de los valores de y y la diferencia de los valores de x. Recordemos de la Sección 1.2 que una diferencia entre dos cantidades se denota a menudo por el símbolo griego \(\Delta\) - léase "delta" como se muestra a continuación, donde la notación delta se está utilizando al calcular e interpretar la pendiente de una recta.

Podemos interpretar esta ecuación diciendo que la pendiente \(m\) mide el cambio en \(y\) por unidad de cambio en \(x\text{.}\) En otras palabras, la pendiente \(m\) proporciona una medida de la sensibilidad . Por ejemplo, si \(y = 100x + 5\text{,}\) un pequeño cambio en \(x\) corresponde a un cambio cien veces mayor en \(y\text{,}\) por lo que \(y\) es bastante sensible a los cambios en \(x\text{,}\)

Secante es una palabra latina que significa cortar, y en matemáticas una línea secante corta una curva arbitraria descrita por \(y = f(x)\) a través de dos puntos \(P\) y \(Q\text{.}\) La figura muestra dos de estas líneas secantes de la curva \(f\) a la derecha ya la izquierda del punto \(P\text{.}\), respectivamente.

Tangente y secante

La palabra secante procede del latín secare, que significa cortar[2] En el caso de una circunferencia, una secante corta a la circunferencia exactamente en dos puntos. Una cuerda es el segmento de recta determinado por los dos puntos, es decir, el intervalo de la secante cuyos extremos son los dos puntos[3].

Una recta puede intersecar a una circunferencia en cero, uno o dos puntos. Una recta con intersecciones en dos puntos se llama recta secante, en un punto recta tangente y en ningún punto recta exterior. Una cuerda es el segmento de recta que une dos puntos distintos de una circunferencia. Por tanto, una cuerda está contenida en una única recta secante y cada recta secante determina una única cuerda.

Si el punto P está dentro de la circunferencia, esto es Euclides III.35, pero si el punto está fuera de la circunferencia, el resultado no está contenido en los Elementos. Sin embargo, Robert Simson y Christopher Clavius demostraron este resultado, a veces llamado teorema de la intersección de secantes, en sus comentarios a Euclides[6].

Para curvas más complicadas que los círculos simples, surge la posibilidad de que una recta que interseca a una curva en más de dos puntos distintos. Algunos autores definen una recta secante a una curva como una recta que interseca a la curva en dos puntos distintos. Esta definición deja abierta la posibilidad de que la recta tenga otros puntos de intersección con la curva. En este caso, las definiciones de recta secante para círculos y curvas son idénticas y la posibilidad de puntos de intersección adicionales no se da en un círculo.

Líneas secantes y segmentos

La palabra secante procede del latín secare, que significa cortar[2] En el caso de una circunferencia, una secante corta a la circunferencia exactamente en dos puntos. Una cuerda es el segmento de recta determinado por los dos puntos, es decir, el intervalo de la secante cuyos extremos son los dos puntos[3].

Una recta puede intersecar a una circunferencia en cero, uno o dos puntos. Una recta con intersecciones en dos puntos se llama recta secante, en un punto recta tangente y en ningún punto recta exterior. Una cuerda es el segmento de recta que une dos puntos distintos de una circunferencia. Por tanto, una cuerda está contenida en una única recta secante y cada recta secante determina una única cuerda.

Si el punto P está dentro de la circunferencia, esto es Euclides III.35, pero si el punto está fuera de la circunferencia, el resultado no está contenido en los Elementos. Sin embargo, Robert Simson y Christopher Clavius demostraron este resultado, a veces llamado teorema de la intersección de secantes, en sus comentarios a Euclides[6].

Para curvas más complicadas que los círculos simples, surge la posibilidad de que una recta que interseca a una curva en más de dos puntos distintos. Algunos autores definen una recta secante a una curva como una recta que interseca a la curva en dos puntos distintos. Esta definición deja abierta la posibilidad de que la recta tenga otros puntos de intersección con la curva. En este caso, las definiciones de recta secante para círculos y curvas son idénticas y la posibilidad de puntos de intersección adicionales no se da en un círculo.

Círculo de línea secante

Intento calcular la longitud de un segmento que corta a una circunferencia. Tengo una secante que es perpendicular a un radio. Conozco la longitud de la secante y el radio. El segmento que quiero calcular es perpendicular a la secante, pero no es la sagita.

Observa que lo que parece un rectángulo en el cuadrante superior derecho de la circunferencia en realidad es un rectángulo: sus aristas están formadas por dos rectas secantes perpendiculares por arriba y por la derecha, y por la izquierda y por abajo por las rectas radiales perpendiculares a esas rectas secantes.

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